TU CLAUSTHAL INSTITUT FÜR MATHEMATIK Prof. Dr. W. Klotz  Lineare Algebra I WS 1999/2000 Klausur 19.02.2000
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Aufgabe  1 2 3 4 5 6 ∑ Note
Max. Punkte 5 6 10 5 7 5 38

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Es wird nicht nur das Ergebnis, sondern insbesondere auch der Rechenweg bewertet. Begründen Sie Ihre Schritte ausreichend. Wenn Sie bei einer Aufgabe nicht weiterkommen, z.B. weil bereits ein Rechenfehler vorliegt, beschreiben Sie bitte möglichst genau das prinzipielle Vorgehen, mit dem Sie die Aufgabe angehen wollten.

Aufgabe 1)[5 Punkte]

Es sei V ein endlich dimensionaler 𝕂-Vektorraum. Man zeige, daß es genau dann einen Endomorphismus f : V → V mit Kern f = Bild f gibt, wenn dim V gerade ist.

Aufgabe 2) [2+4=6 Punkte] Es sei A_{n} die n × n-Matrix der Form

A_{n} = ( \begin{matrix}2 & −1 \\ −1 & 2 & −1 \\ & −1 & 2 & −1 \\ & & … & … & … \\ & & & … & … & −1 \\ & & & & −1 & 2 \end{matrix} ) .

a) Man berechne a_{k} = det A_{k} für k = 1, 2 und 3.

b) Man berechne a_{n} = det A_{n} durch Induktion allgemein.

Aufgabe 3) [3+3+4=10 Punkte]

Es sei f : ℝ^{3} → ℝ^{3} mit f ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ).

a) Bestimmen Sie die Matrix von f^{−1} bezüglich der Standardbasis.

b) Zeigen, Sie daß die Matrix von f bezüglich der Standardbasis positiv definit ist.

c) Es sei nun P = \{( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) ∈ ℤ^{3} mit a^{2} + b^{2} = c^{2}\}. Man nennt die

Elemente in P pythagoräische Zahlentripel.

Beweisen Sie, daß f pythagoräische Tripel auf pythagoräische Tripel abbildet, d.h. zeigen Sie, daß die Abbildung f : P → P wohldefiniert ist.

Aufgabe 4) [5 Punkte] Zeigen Sie, daß die Funktionen f_{1}, f_{2} und f_{3} mit f_{1}(x) = x+1, f_{2}(x) = sin x und f_{3}(x) = cos x im Vektorraum V = ℝ^{ℝ} linear unabhängig sind.

Aufgabe 5) [7 Punkte] Stellen Sie

A = \frac{1}{5} ( \begin{matrix}3 & 6 & −15 \\ 0 & 20 & 25 \\ 4 & 8 & 30 \end{matrix} )

als Produkt QR einer orthogonalen Matrix Q und einer oberen Dreiecksmatrix R dar. Hinweis: Es treten nur rationale Zahlen auf.

Aufgabe 6) [5 Punkte] Man zeige, daß eine Permutation π ∈ S_{n} genau dann gerade ist, wenn sie in ihrer Darstellung als Produkt disjunkter Zyklen eine gerade Anzahl von Zyklen gerader Länge hat.