[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 1; Ausgabe: 20.10.99]

Dieses Blatt wird in der ersten Tutorenübung besprochen. Lösungen sind (ausnahmsweise) nicht abzugeben!

1. Man beweise:

a) A ∪ B = A ⇒ B ⊆ A, b) A ∩ B = A ⇒ B ⊇ A,

c) A ∩ B = A ∪ B ⇒ A = B.

2. Es sei A eine Menge und (B_{i})_{i∈I} ein Mengensystem. Man beweise die folgenden Distributivgesetze:

a) A ∩ (∪_{i∈I}B_{i}) = ∪_{i∈I}(A ∩ B_{i}), b) A ∪ (∩_{i∈I}B_{i}) = ∩_{i∈I}(A ∪ B_{i}).

3. Es seien A und B endlichen Mengen und f : A → B. Man zeige:

a) f injektiv ⇒ |A| ≤ |B|, b) f surjektiv ⇒ |A| ≥ |B|,

c) f bijektiv ⇒ |A| = |B|.

Man vereinbart, daß für unendliche Mengen |A| = |B| bedeuten soll, daß es eine Bijektion f : A → B gibt. Wir nennen A und B dann gleichmächtig.

4. Es sei f : X → Y; A, B ⊆ X; C, D ⊆ Y. Man zeige:

a) f(A ∪ B) = f(A) ∪ f(B), b) f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B),

c) f^{−1}(C ∪ D) = f^{−1}(C) ∪ f^{−1}(D), d) f^{−1}(C ∩ D) = f^{−1}(C) ∩ f^{−1}(D).

Man überlege sich die Bedeutung von f^{−1}. Weiter belege man mit einem Beispiel, daß in b) nicht allgemein Gleichheit besteht.

5. Es sei f : A → B. Man beweise:

a) Gibt es eine Abbildung g : Bild f → A mit g ∘ f = id_{A}, dann ist f injektiv und g = f^{−1}.

b) Gibt es eine Abbildung h : B → A mit f ∘h = id_{B}, dann ist f surjektiv.

6. Es seien A, B, C Teilmengen der Menge M. Man nennt C′ = M \ C das Komplement von C in M. Man beweise:

a) (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′,

b) (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′.