[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 10]

1. Man bestimme die allgemeine Lösung der folgenden Gleichungssysteme über ℝ.

a) \begin{matrix}x & − & y & + & 2z & = & 1 \\ 2x & + & y & − & z & = & 0 \\ 3x & & & + & z & = & 2 \end{matrix} b) \begin{matrix}x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & + & x_{5} & + & x_{6} & = & 0 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & − & x_{4} & − & x_{5} & − & x_{6} & = & 0 \\ x_{1} & − & x_{2} & + & x_{3} & − & x_{4} & + & x_{5} & − & x_{6} & = & 0. \end{matrix}

2. Man bestimme alle ganzzahligen Lösungen x, y, z des Gleichungssystems

\begin{aligned}2x & − & 3y & + & z & = & 0 \\ x & + & y & − & z & = & 0 \\ 5x & − & 5y & + & z & = & 0 \\ x^{2} & + & y^{2} & + & z^{2} & = & 152. \end{aligned}

3. Man bestimme für jeden Wert t ∈ ℝ die allgemeine Lösung des folgenden reellen Gleichungssystems:

\begin{aligned}x & + & 3y & + & z & = & 1 \\ 2x & + & 2y & + & z & = & 1 \\ 3x & + & 9y & + & (t + 2)z & = & 2. \end{aligned}

4. f ∈ Hom ℝ^{4} habe bzgl. der Standardbasis die Matrix

A = ( \begin{matrix}2 & −7 & −4 & 4 \\ 0 & 3 & −6 & −6 \\ 1 & 1 & −11 & −7 \\ −1 & 5 & −1 & −5 \end{matrix} ) .

Man bestimme je eine Basis von Kern f und Bild f.

5. Es sei

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \\ −1 & −1 & −3 \end{matrix} ) .

Man bestimme A^{−1}.