[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 11]

1) Die lineare Abbildung f : ℝ^{3} → ℝ^{3} habe die Matrix A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) bezüglich der

Standardbasis. Was ist die Matrix von f bezüglich der Basis

v⃗_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , v⃗_{2} = ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v⃗_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix} ) ?

2) Man schreibe die folgende Matrix A als Produkt von Elementarmatrizen:

A = ( \begin{matrix}1 & 3 & −1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & 4 & −3 \end{matrix} ) .

3) Man berechne

D = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{matrix} | .

4) Man berechne a) | \begin{matrix}1 & 0 & −x & 0 \\ 0 & x & 0 & −1 \\ 1 & 0 & 0 & −y \\ 0 & y & −1 & 0 \end{matrix} |, b) | \begin{matrix}0 & a & b & 0 \\ a & 0 & 0 & b \\ y & 0 & 0 & x \\ 0 & y & x & 0 \end{matrix} |.

5) Man löse das folgende Gleichungssystem mit der Cramerschen Regel:

\begin{aligned}3x & + & 2y & + & 4z & = & 1 \\ 2x & − & y & + & z & = & 0 \\ x & + & 2y & + & 3z & = & 1 \end{aligned}

——————————————–Zusatzaufgabe—————————————————

Sei A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) eine invertierbare Matrix. Man prüfe nach, daß A^{−1} = \frac{1}{ad − bc} ( \begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix} )

gilt.

Können Sie eine ähnliche Formel für die Inverse A^{−1} von A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) angeben?

(Hinweis: Es GIBT eine solche Formel. Allerdings ist sie bereits im 3 × 3 Fall keineswegs leichter in der Handhabung als die Invertierung mit dem Gaußalgorithmus, und für größere Matrizen erst recht nicht. Sie sollten zur Invertierung also stets den Gaußalgorithmus verwenden!)