[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 12]

1. Es seien a, b, c, d ∈ ℝ, x⃗ = (x_{1}, x_{2})^{t} ∈ ℝ^{2}, y⃗ = (y_{1}, y_{2})^{t} ∈ ℝ^{2}. Unter welchen Bedingungen wird durch

β(x⃗, y⃗) = a x_{1}y_{1} + b x_{2}y_{2} + c x_{1}y_{2} + d x_{2}y_{1}

ein Skalarprodukt auf ℝ^{2} definiert?

2. Für welche x ∈ ℝ ist die folgende Matrix A orthogonal?

A = \frac{1}{1 + x(1 + x)} ( \begin{matrix}−x & x(1 + x) & 1 + x \\ 1 + x & −x & x(1 + x) \\ x(1 + x) & 1 + x & −x \end{matrix} )

3. Es sei

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) .

Man bestimme eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecksmatrix R mit A = Q · R.

4. Der Raum ℂ^{3} sei mit dem komplexen Standard-Skalarprodukt ausgestattet. Es seien

a⃗_{1} = (−1, i, 1), a⃗_{2} = (i, 0, 2), U = [a⃗_{1}, a⃗_{2}].

Man bestimme eine Orthonormalbasis B = {b⃗_{1}, b⃗_{2}, b⃗_{3}} von ℂ^{3} mit U = [b⃗_{1}, b⃗_{2}]. (Hinweis: Wählen Sie sich ein geeignetes a⃗_{3}.)

5. Es sei

A = ( \begin{matrix}4 & 8 & 0 \\ 8 & 41 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \end{matrix} ) .

Man bestimme eine obere Dreiecksmatrix S ∈ ℝ^{3×3} mit lauter positiven Hauptdiagonaleinträgen, so daß A = S^{T} S gilt. (Hinweis: Setzen Sie S mit Unbestimmten s_{ij} an.)