[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 2; Ausgabe: 27.10.99]

Dieses Blatt wird in der zweiten Tutorenübung besprochen. Bitte geben Sie schriftliche Lösungen am 3.11.99 in der Vorlesung ab.

1. Es sei: f : A → B, g : B → C. Man zeige:

a) f surjektiv ∧ g surjektiv ⇒ g ∘ f surjektiv,
b) f injektiv ∧ g injektiv ⇒ g ∘ f injektiv,
c) f bijektiv ⇒ f^{−1} bijektiv.

2. Es sei M = {1, 2, 3, 4}. Die Abbildungen f, g ∈ M^{M} seien durch folgende Diagramme definiert:

\begin{matrix}a & 1 & 2 & 3 & 4 \\ f(a) & 4 & 2 & 3 & 2 \end{matrix} , \begin{matrix}a & 1 & 2 & 3 & 4 \\ g(a) & 2 & 1 & 4 & 3 \end{matrix} .

Man ermittle die Diagramme von f ∘ g, g ∘ f und, falls vorhanden für f^{−1} und g^{−1}.

3. Man stelle den größten gemeinsamen Teiler der folgenden beiden Zahlen a und b als ganzzahlige Linearkombination von a und b dar:

a = 1 113 121, b = 1 050 703.

4. Die Kongruenz modulo m ist für a, b ∈ ℤ definiert durch a ≡ b ⇔ m | a − b.

Man zeige, daß ≡ eine Äquivalenzrelation auf ℤ ist, die in folgendem Sinn mit + und · verträglich ist:

a ≡ b ∧ c ≡ d ⇒ a + c ≡ b + d ∧ a c ≡ b d.

5. Es sei A eine durch ≤ geordnete Menge; a, b, c, d ∈ A. Man definiere auf A × A:

(a, b) ≤ (c, d) ⇔ a < c ∨ (a = c ∧ b ≤ d).

Man zeige, daß so eine Ordnung auf A × A definiert wird, die lexikographische Ordnung auf A × A.

6. Man prüfe, ob Durchschnitt und Vereinigung von Äquivalenzrelationen bzw. Ordnungsrelationen wieder eine Äquivalenzrelation bzw. Ordnungsrelation ist.