[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 3; Ausgabe: 3.11.99]

1. Es sei f ∈ S_{7}, f = (1, 2, 3, 4, 5) ∘ (1, 2, 7). Man bestimme:

a) Die Darstellung von f als Produkt disjunkter Zyklen.

b) sgnf.

c) f^{−2}.

d) |[f]|.

2. Man beweise:

a) S_{n} ist nicht abelsch für n ≥ 3.

b) A_{n} ist nicht abelsch für n ≥ 4.

c) |A_{n}| = \frac{1}{2} n!

3.a) Man beweise: Für alle Elemente a der Gruppe G sei a^{2} = e. Dann ist G abelsch.

b) Formulieren Sie die Umkehrung der Aussage in a). Beweisen oder widerlegen Sie diese Umkehrung.

c) Sei G eine endliche abelsche Gruppe. Man beweise, daß dann ∏_{g∈G} g^{2} = e gilt. Wenn |G| ungerade ist, dann gilt sogar ∏_{g∈G} g = e.

d) Sei G eine endliche Gruppe. (G muß also nicht abelsch sein.) Falls |G| gerade ist, dann gibt es ein g ∈ G, g ≠ e, so daß g^{2} = e gilt.

4.a) Es seien G_{1} und G_{2} zyklische Gruppen der gleichen endlichen Ordnung, d. h. |G_{1}| = |G_{2}|. Man zeige: G_{1} ≃ G_{2}.

b) Beweisen Sie: Ist p eine Primzahl und G eine Gruppe der Ordnung p, dann ist G zyklisch.

Es gibt also nach a) und b) genau eine Gruppe der Ordnung p, wenn p eine Primzahl ist, nämlich die zyklische Gruppe mit p Elementen.

5. Man beweise für beliebige Mengen M_{1}, M_{2}:

|M_{1}| = |M_{2}| ⇒ S(M_{1}) ≃ S(M_{2}).