[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 4; Ausgabe: 10.11.99]

1.Man definiere für α, β ∈ ℚ:

α ∼ β ⟺ (β − α) ∈ ℤ.

Statt α ∼ β schreibt man auch α ≡ β modulo 1. Man zeige:

a) ∼ ist Äquivalenzrelation auf ℚ.

b) Sind K(α), K(β) Äquivalenzklassen und definiert man K(α) + K(β) = K(α + β),

dann wird (ℚ/ ∼, +) eine Gruppe G.

c) In G hat jedes Element eine endliche Ordnung. Eine solche Gruppe nennt man Torsionsgruppe.

2. Es sei k ∈ ℕ keine Quadratzahl. Zeige: \sqrt{k} ist irrational.

3. Es sei k ∈ ℕ, ℚ [\sqrt{k}] = \{a + b \sqrt{k} : a, b ∈ ℚ\}. Man zeige, daß ℚ [\sqrt{k}] ein Teilkörper von ℝ ist.