[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 5]

1. Man entscheide, ob die folgenden Teilmengen von ℝ^{3} Unterräume sind. M_{1} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} ∈ ℤ}, M_{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : 4x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} = 0}, M_{3} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} − x_{2} + x_{3} < 1}, M_{4} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1}^{11} = x_{2}^{11}}, M_{5} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1}^{10} = x_{2}^{10}}, M_{6} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) : x_{1} + x_{2} − x_{3} ≥ 0}.

2. Es seien M_{1} und M_{2} Teilmengen eines Vektorraumes V. Man zeige:

a) [M_{1} ∪ M_{2}] = [M_{1}] + [M_{2}].

b) [M_{1} ∩ M_{2}] ⊆ [M_{1}] ∩ [M_{2}]. Man gebe ein Beispiel an, das zeigt, daß in b) nicht immer Gleichheit besteht.

3. Es seien a⃗ = (a_{1}, …, a_{n}), b⃗ = (b_{1}, …, b_{n}) ∈ ℝ^{n}.

Man zeige, daß a⃗ und b⃗ genau dann linear abhängig sind, wenn

a_{j}b_{k} = a_{k}b_{j} für alle j, k ∈ {1, …, n} gilt.

4. Man gebe n + 1 Vektoren v_{i} ∈ ℝ^{n} an, von denen je n Vektoren linear unabhängig sind.

5. Es sei M = {a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}, a⃗_{4}} ⊆ ℝ^{5} mit

a⃗_{1} = (1, 0, 1, 0, 1), a⃗_{2} = (1, 1, 1, 1, 1), a⃗_{3} = (1, 2, 1, 2, 1), a⃗_{4} = (3, 1, 3, 1, 3).

Man bestimme eine Basis B′ von [M] und eine Basis B von ℝ^{5} mit B′ ⊆ B.

6. Man zeige, daß \{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\} im Vektorraum ℝ über ℚ linear unabhängig ist.