[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 6]

1. Es sei U ⊆ ℝ^{n}, U = {(x_{1}, …, x_{n}) : x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + ⋯ + nx_{n} = 0}.

Man zeige, daß U ein Unterraum von ℝ^{n} ist und gebe eine Basis von U an.

2. Es sei M_{1} die Menge der geraden, M_{2} die Menge der ungeraden Funktionen in ℝ^{ℝ}, d.h.

M_{1} = {f : f(x) = f(−x) für alle x ∈ ℝ},
M_{2} = {g : g(x) = −g(−x) für alle x ∈ ℝ}.

Man zeige, daß M_{1}, M_{2} Unterräume von ℝ^{ℝ} sind mit ℝ^{ℝ} = M_{1} ⊕ M_{2}.

3. Es sei V = ℝ_{3}[x].

a) Man gebe eine sehr einfache Basis dieses Vektorraumes an.

b) Man prüfe, ob

B = {x^{3} − 2x + 3, x^{3} − 2x^{2} + 2x − 1, x^{3} − 1, x^{3} − 2x + 5}

eine Basis von V darstellt.

c) Es sei f = x^{3} − x^{2} + 1, g = x^{2} − 2x + 2. Man ergänze {f, g} durch Vektoren aus B zu einer Basis von V.

4) Es sei 𝕂 ⊂ ℝ ein Körper. Weiter sei a > 0 und a ∈ 𝕂, aber \sqrt{a} ∉ 𝕂.

Dann ist K[\sqrt{a}] = \{α + β\sqrt{a}, α, β ∈ 𝕂\} wie auf dem Tutorenblatt 4 ein Körper, man sagt ”𝕂 adjungiert mit Wurzel a“.

Es sei nun b > 0 und b ∈ K, aber \sqrt{b} ∉ K[\sqrt{a}]. Weiter sei K[\sqrt{a}, \sqrt{b}] = (K[\sqrt{a}])[\sqrt{b}] = \{γ + δ\sqrt{b}, γ, δ ∈ 𝕂[\sqrt{a}]\}.

Das soll bedeuten, daß man den Körper K zuerst zu K[\sqrt{a}] erweitert, dann ganz analog zur ersten Erweiterung eine zweite Erweiterung vornimmt.

Betrachten Sie nun ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}]. Zeigen Sie, daß ℚ[\sqrt{2}, \sqrt{3}] ein Vektorraum über ℚ ist, und geben Sie eine Basis an. (Hinweis: \{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\} ist keine Basis, aber wenn Sie verstanden haben, warum nicht, können Sie leicht eine Basis angeben.)