[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 7]

1. Man zeige, daß die folgenden Abbildungen linear sind. Welche der Abbildungen sind Isomorphismen?

\begin{aligned}L_{1} : ℝ^{3} & → & ℝ^{3}, & L_{1}(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (a_{1} + a_{2}, a_{1} + a_{3}, a_{2} + a_{3}) \\ L_{2} : ℝ^{3} & → & ℝ_{2}[x], & L_{2}(a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} + (a_{1} + a_{2})x + (a_{1} + a_{2} + a_{3})x^{2} \\ L_{3} : ℝ^{ℝ} & → & ℝ^{ℝ}, & L_{3}(f(x)) = f(x^{2}) \end{aligned}

2. Die linearen Abbildungen: σ_{1} : ℝ^{2} → ℝ^{3} und σ_{2} : ℝ^{3} → ℝ^{2} seien definiert durch:

σ_{1}(1, 0) = (2, −1, 3), σ_{1}(0, 1) = (0, 1, −1), σ_{2}(1, 0, 0) = (1, 1), σ_{2}(0, 1, 0) = (8, −2), σ_{2}(0, 0, 1) = (1, 0).

Man bestimme rg(σ_{2}σ_{1}) und def(σ_{2}σ_{1}).

3. Es sei φ ∈ Hom (ℝ_{2}[x]) definiert durch:

φ(a + bx + cx^{2}) = (a + 2b) + (2b + 2c)x + (2a + 3b − c)x^{2}.

Man bestimme rg(φ), def(φ) und je eine Basis für das Bild und den Kern von φ.

4. Beweisen Sie:

a) Zu jedem Unterraum U eines endlich dimensionalen Vektorraumes V gibt es ein σ ∈ Hom V mit U = Kern σ.

b) Es gibt einen Endomorphismus φ von ℝ^{2} mit Kern φ = Bild φ.