[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 8]

1. Es sei f ∈ Hom ℝ^{2} definiert durch

f(1, 1) = (1, −1), f(1, −2) = (2, 2).

Man bestimme M(f), M(f^{−1}) bezüglich der Standardbasis.

2. Die Endomorphismen f, g von ℝ^{3} seien definiert durch:

f(x, y, z) = (y, z, x + y), g(x, y, z) = (x + y + z, 0, 0).

Man bestimme bezüglich der Standardbasis die Matrizen der linearen Abbildungen f, f^{−1}, g, (f + g)g.

3. Es sei A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{2×2}. Ferner sei F ∈ Hom ℝ^{2×2} definiert durch F (X) = AX. Man bestimme die Matrix von F bzgl. der Standardbasis von ℝ^{2×2}:

E_{11} = ( \begin{matrix}1 0 \\ 0 0 \end{matrix} ) , E_{12} = ( \begin{matrix}0 1 \\ 0 0 \end{matrix} ) , E_{21} = ( \begin{matrix}0 0 \\ 1 0 \end{matrix} ) , E_{22} = ( \begin{matrix}0 0 \\ 0 1 \end{matrix} ) .

4. Es seien A, B ∈ K^{n×n}. Man zeige:

a) A, B obere (untere) Dreiecksmatrizen ⟹ AB obere (untere) Dreiecksmatrix.

b) A, B Diagonalmatrizen ⟹ AB Diagonalmatrix.

5. Man zeige:

a) A ∈ K^{m×n} ⟹ AA^{T} symmetrische m × m-Matrix.

b) A ∈ K^{n×n} ∧ A invertierbar ⟹ (A^{−1})^{T} = (A^{T})^{−1}.

c) A^{−1} symmetrisch ⟺ A symmetrisch (falls A invertierbar).