[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Tutorenübung 9]

1) Wir definieren die Menge der n × n Matrizen, die in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine 1 haben. Alle anderen Einträge seien 0. Solche Matrizen nennt man Permutationsmatrizen.

a) Erklären Sie den Namen dieser Matrizen.

b) Bestimmen Sie die Anzahl der n × n Permutationsmatrizen.

2) Ein Endomorphismus f des Vektorraumes V heißt eine Projektion, wenn f ∘ f = f ist. (Vgl. Probeklausur.) Man bestimme eine Projektion f des ℝ^{2} mit (1, 2) ∈ Kern f und (1, −1) ∈ Bild f. Begründen Sie (geometrisch), warum man diese Abbildung Projektion nennt.

3) Es sei f : ℝ^{3} → ℝ^{3} eine lineare Abbildung mit

f(x, y, z) = (−9x + 4y − 2z, −25x + 11y − 5z, −5x + 2y).

Bestimmen Sie die zu f gehörende Matrix B bezüglich der Standardbasis. Berechnen Sie B^{2}, B^{3}, ... und bestimmen Sie f^{2}, f^{3}, f^{4}, ... .

4a) Es sei A = ( \begin{matrix}4 & 12 & 8 \\ −7 & −6 & −8 \\ 4 & −3 & 2 \end{matrix} ). Berechnen Sie die Potenzen A^{0}, A^{1}, A^{2}, · · ·. Beweisen

Sie Ihre Beobachtung allgemein.

b) Es sei A = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ). Berechnen Sie die Potenzen A^{0}, A^{1}, A^{2}, · · ·. Beweisen Sie Ihre

Beobachtung allgemein. Zeigen Sie, daß G = {A^{n}, n ∈ ℤ} eine Untergruppe der GL(2, ℤ) ist. Hierbei ist GL(2, ℤ) die Gruppe der invertierbaren 2×2 Matrizen mit ganzzahligen Einträgen. (Auch das Inverse muß ganzzahlige Einträge haben. Die 2 × 2 Einheitsmatrix ist das neutrale Element.)

(Zusatzaufgabe: Wenn man für Matrizen exp(M) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{M^{k}}{k!} definiert, können Sie dann

etwas über exp A sagen?)

5) Die lineare Abbildung f : ℝ^{2} → ℝ^{3} habe bezüglich der Standardbasen B_{1} = {e_{1}, e_{2}}

und B1^{′} = {e1^{′}, e2^{′}, e3^{′}} von ℝ^{2} bzw. ℝ^{3} die Matrix

A_{1} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{matrix} ) .

Man bestimme die Matrix A_{2} von f bezüglich der Basen

B_{2} = {(1, 0), (1, 1)} und B2^{′} = {(1, 0, 0), (2, 1, 0), (3, 2, 1)}.