[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Alte Klausuraufgaben]

Hinweis: Die Semesterabschlußklausur findet am Samstag, 19.02.2000, von 8^{oo} (pünktlich!)- 10^{oo} in HA und HB statt. Als Hilfsmittel ist ein eigenhändig beschriebenes Blatt (das auf beiden Seiten beschrieben sein darf) zugelassen. Taschenrechner, Bücher, Skripte usw. sind nicht erlaubt.

Bitte bearbeiten Sie bis zur nächsten Tutorenübung folgende Aufgaben. Lösungen sind nicht abzugeben.

1. Sei A′ = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) die Matrix von f : ℝ^{3} → ℝ^{3} bezüglich der Basen

C_{1} = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\} und C_{2} = \{( \begin{matrix}2 \\ 6 \\ −4 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ −3 \\ 3 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}4 \\ 6 \\ −4 \end{matrix} )\} .

a) Man berechne die Matrix A von f bezüglich der Standardbasen.

b) Man bestimme Kern f und Bild f.

c) Gibt es Basen C_{3} und C_{4}, so daß M(f, C_{3}, C_{4}) die Gestalt B = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) hat?

2. Bestimmen Sie det A und A^{−1} von

A = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & −1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \end{matrix} ) .

3. Die Matrix M = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{matrix} ) definiert ein reelles Skalarprodukt β.

Der Unterraum U von ℝ^{3} werde durch ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) und ( \begin{matrix}2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) aufgespannt.

Berechnen Sie die orthogonale Projektion P_{U} ( \begin{matrix}3 \\ 4 \\ 2 \end{matrix} ) bezüglich des Skalarproduktes β.

(Tip: x⃗ · y⃗ = β (x⃗, y⃗) = x^{T} My⃗.)

4. Für welche x ∈ ℝ ist die folgende Matrix A positiv definit?

A = ( \begin{matrix}1 & x & x \\ x & 1 & x \\ x & x & 1 \end{matrix} ) .

5. Es sei

D_{n} = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 & −1 \\ & 1 & 1 & −1 \\ & & & & 1 & 1 & −1 \\ & & & & & 1 & 1 \end{matrix} )

und F_{n} = det D_{n}. Geben Sie eine Möglichkeit an, um F_{n} durch F_{n−1} und F_{n−2} auszudrücken, und berechnen Sie damit F_{10}.