[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 10]

1. Die Matrix A ∈ K^{n×n} habe die Einträge

a_{ij} = \{ \begin{matrix}a & für i = j \\ b & für i ≠ j \end{matrix} .

Man bestimme det A und rg A.

2. Es sei

A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ −1 & 1 & 2 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}5 & 4 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix} ) .

Man bestimme in ℝ^{3×3} alle Lösungen von AX = B.

3. Gegeben sei eine Basis B = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )\} und die Matrix

A = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) bezüglich der Standardbasis. Man gebe die Matrix der zu A gehörenden Abbildung φ_{A} bezüglich der Basis B an. (Hinweis: Satz 7.7.)

4. Die n × n-Matrix A enthalte r Zeilen und s Spalten, in deren Schnitt lauter Nullen stehen. Man beweise: Ist r + s > n, dann ist det A = 0.

5. Man bestätige für die “Vandermondesche Determinante”

V (x_{1}, …, x_{n}) = | \begin{matrix}1 & 1 & ⋯ & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ⋯ & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & ⋯ & x_{n}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋯ & ⋮ \\ x_{1}^{n−1} & x_{2}^{n−1} & ⋯ & x_{n}^{n−1} \end{matrix} | = ∏ ; i > k (x_{i} − x_{k}).