[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 11]

1.) Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum. Man beweise:

a) ∥ x⃗ + y⃗ ∥^{2} + ∥ x⃗ − y⃗ ∥^{2}= 2(∥ x⃗ ∥^{2} + ∥ y⃗ ∥^{2}) (Parallelogrammgleichung),

b) x⃗ · y⃗ = \frac{1}{4}\{ ∥ x⃗ + y⃗ ∥^{2} − ∥ x⃗ − y⃗ ∥^{2} +i(∥ x⃗ + iy⃗ ∥^{2} − ∥ x⃗ − iy⃗ ∥^{2})\}. Dabei ist im euklidischen Raum der Imaginärteil zu streichen. 2.) Eine Abbildung N : V → ℝ eines reellen oder komplexen Vektorraumes V heißt eine Norm, wenn für alle x⃗, y⃗ ∈ V, λ ∈ K gilt: (I) N(x⃗) ≥ 0, N(x⃗) = 0 ⟺ x⃗ = 0, (II) N(λx⃗) = |λ| N(x⃗), (III) N(x⃗ + y⃗) ≤ N(x⃗) + N(y⃗). Ein normierter Raum ist ein mit einer Norm N ausgestatteter Vektorraum. Die Norm N heißt euklidisch bzw. unitär, wenn sie gemäß N(x⃗) = \sqrt{x⃗ · x⃗} aus einem Skalarprodukt hervorgeht. Man beweise für einen normierten Raum V:

a) Durch d(x⃗, y⃗) = N(x⃗ − y⃗) wird eine Metrik auf V definiert.

b) |N(x⃗) − N(y⃗)| ≤ N(x⃗ − y⃗).

c) lim_{n→∞} N(x⃗_{n}) = 0 ⟹ lim_{n→∞} N(x⃗_{n} + y⃗) = N(y⃗) (Stetigkeit der Norm) 3.) Man zeige: Ist V ein reeller Raum mit einer Norm N, die der Parallelogrammgleichung

N^{2}(x⃗ + y⃗) + N^{2}(x⃗ − y⃗) = 2(N^{2}(x⃗) + N^{2}(y⃗))

genügt, dann wird durch

β(x⃗, y⃗) = \frac{1}{4} (N^{2}(x⃗ + y⃗) − N^{2}(x⃗ − y⃗))

ein Skalarprodukt auf V definiert. Allgemein gilt: Die Norm eines normierten Vektorraumes ist genau dann euklidisch bzw. unitär, wenn sie der Parallelogrammgleichung genügt. 4.) Sind die folgenden Funktionen Normen von ℝ^{n}? Welche Normen sind euklidisch?

a) N_{1}(x_{1}, …, x_{n}) = max_{i} |x_{i}|, b) N_{2}(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} |x_{i}|,

c) N_{3}(x_{1}, …, x_{n}) = \sqrt{x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + ⋯ nx_{n}^{2}}, d) N_{4} = \sqrt{N_{1}^{2} + N_{2}^{2}},

e) N_{5}(x_{1}, …, x_{n}) = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + ⋯ x_{n}^{2}}. 5a) Zeichnen Sie im ℝ^{2} die Punkte, mit ||x|| = 1, wobei ||·|| eine der Normen aus Aufgabe 4) bezeichne.

b) Zeigen Sie, daß im ℝ^{n} die Normen aus 4a), b) und e) äquivalent sind. (Es gilt sogar, daß im ℝ^{n} alle Normen äquivalent sind!)

c) Berechnen Sie die Normen des Vektors (1, 2, 3)^{t}, mit den Normen aus Aufgabe 4).