[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 12]

1. Berechnen Sie die QR-Zerlegung von

A = ( \begin{matrix}1 & 4 & 17/2 \\ 2 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & −4 \end{matrix} ) .

Ist die Zerlegung eindeutig?

2. Es sei

H = {f ∈ ℝ_{2}[x] : ∫_{0}^{1} f(x) dx = 3}.

Man zeige, daß H eine Hyperebene des Raumes ℝ_{2}[x] ist.

3. Es sei V = C[0, 1] der Raum der stetigen reellen Funktionen mit dem Skalarprodukt

β(f, g) = ∫_{0}^{1} f(x) g(x) dx.

Es sei h ∈ V, h(x) = sin 2πx. Man fasse U = ℝ_{1}[x] als Unterraum von V auf und approximiere h “möglichst gut” durch ein Polynom u_{0} ∈ U, d.h. man bestimme u_{0} so, daß gilt:

d(h, U) = d(h, u_{0}).

4. Seien a_{1}, ⋯, a_{n} reelle Zahlen. Man beweise:

(a_{1} + ⋯ a_{n})^{2} ≤ n(a_{1}^{2} + ⋯ a_{n}^{2}).

5. Es sei V ein euklidischer oder unitärer Vektorraum, A = {a⃗_{1}, …, a⃗_{m}} ⊆ V. Die Gramsche Determinante von A wird definiert durch: G_{r}(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = det(a⃗_{i} · a⃗_{j}). Man zeige:

(a) Sei B eine ONB von [A]. Die Matrix S habe in den Spalten die Koordinatenvektoren von A bzgl. B, dann ist (a⃗_{i} · a⃗_{j}) = S^{T} \overline{S}.

(b) G_{r}(a⃗_{i}, …, a⃗_{m}) = | det S|^{2} > 0, wenn A linear unabhängig ist.

(c) G_{r}(a⃗_{1}, …, a⃗_{m}) = 0 ⇔ a⃗_{1}, …, a⃗_{m} ist linear abhängig.