[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 3; Übung vom 11.11.99]

1. Unter dem direkten Produkt G ⨂ H zweier Gruppen G und H versteht man das kartesische Produkt G × H versehen mit folgender Verknüpfung:

(a, b) · (c, d) = (ac, bd).

Man zeige:

a) G ⨂ H ist eine Gruppe.

b) Konstruieren Sie mit Hilfe von a) eine nicht zyklische Gruppen G_{1} mit 4 Elementen und eine Gruppe G_{2} mit 6 Elementen. (Bemerkung: Es gilt G_{1} = C_{2} × C_{2} ≄ C_{4} aber G_{2} = C_{2} × C_{3} ≃ C_{6}.)

c) Geben Sie alle (nichtisomorphen) Gruppen mit höchstens 7 Elementen an.

2. Für n ∈ ℕ bezeichne ℤ_{n} die Menge der Restklassen modulo n, d.h. die Menge der Äquivalenzklassen der Kongruenz modulo n (siehe Tutorenübung 2, Aufg. 4). Es seien K(a), K(b) die von den ganzen Zahlen a bzw. b repräsentierten Restklassen. Man zeige, daß durch die folgende Festsetzung eindeutig eine Addition und eine Multiplikation auf ℤ_{n} definiert werden:

K(a) + K(b) = K(a + b), K(a) · K(b) = K(ab)

Ferner beweise man:

(ℤ_{n}, +) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n. (ℤ_{n}, +, ·) ist ein Ring. Ist n keine Primzahl, dann hat dieser Ring Nullteiler, d.h. Elemente a, b ≠ 0 mit ab = 0. (ℤ_{n}, +, ·) ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.

3. Es sei P_{n} die Einheitengruppe von (ℤ_{n}, ·). Man zeige, daß P_{n} genau aus den Restklassen modulo n besteht, die von einer zu n teilerfremden Zahl repräsentiert werden, d.h.

P_{n} = {K(a)|K(a) Restklasse modulo n, ggT (a, n) = 1}.

Die Euler Funktion φ(n) wird definiert durch

φ(n) = |P_{n}| = |{x ∈ ℕ : 1 ≤ x ≤ n, ggT (x, n) = 1}|.

Beweisen Sie den kleinen Fermatschen Satz der Zahlentheorie:

ggT (a, n) = 1 ⇒ a^{φ(n)} ≡ 1 modulo n.

4. Welchen Rest läßt 3^{657} bei Division durch 47?