[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 4]

1. Es sei U ein Unterraum des Vektorraumes V, U ≠ V. Man zeige: [V \ U] = V.

2. Es seien a⃗_{1}, a⃗_{2}, a⃗_{3}, a⃗_{4} linear unabhängige Vektoren eines reellen Vektorraumes. Ferner seien

b⃗_{1} = a⃗_{1} + 2a⃗_{2}, b⃗_{2} = a⃗_{3} + a⃗_{4},

c⃗_{1} = a⃗_{1} + a⃗_{2}, c⃗_{2} = a⃗_{1} + a⃗_{3}, c⃗_{3} = a⃗_{3} − a⃗_{1},

S = [b⃗_{1}, b⃗_{2}], T = [c⃗_{1}, c⃗_{2}, c⃗_{3}]. Man bestimme je eine Basis für S ∩ T und S + T.

3. Im Folgenraum ℝ^{ℕ} bezeichne M_{1} die Menge aller beschränkten, M_{2} die Menge aller konvergenten Folgen. Ferner sei M_{3} die Menge der Folgen (x_{k}), für die ∑_{k=1}^{∞} x_{k} konvergiert. Man zeige, daß M_{1}, M_{2} und M_{3} Unterräume von ℝ^{ℕ} sind mit M_{1} ⫌ M_{2} ⫌ M_{3}.

4. Erzeugt {0, 1}^{IN} den Raum IR^{IN}?

5. Man zeige, daß B = {1, x^{2}, (x−2) (x−1)} eine Basis des Vektorraumes ℝ_{2}[x] ist. Man bestimme den Koordinatenvektor von f(x) = x^{2} + x + 1 bzgl. B.