[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 5]

1. Es sei B = {e_{1}, e_{2}, …} ⊆ ℝ^{ℕ},

e_{j} = (x_{i})_{i∈ℕ}, x_{i} = \{ \begin{matrix}1 & für i = j \\ 0 & sonst \end{matrix} .

Ist B linear unabhängig? Ist B eine Basis von ℝ^{ℕ}? Es sei V = [B]. Man zeige, daß B′ = {e_{j} + e_{j+1} : j = 1, 2, ⋯} linear unabhängig ist. Ist B′ eine Basis von V?

2. Es sei ℙ die Menge der Primzahlen und M = { log p : p ∈ ℙ}. Man zeige, daß M im Vektorraum ℝ über ℚ linear unabhängig ist.

3. Man zeige, daß die Funktionen

f_{n} : [0, 1] → ℝ, f_{n}(x) = \frac{x^{2} − 1}{x + n}, n ∈ ℕ

über ℝ linear unabhängig sind.

4. Wie muß man a ∈ ℝ wählen, damit der von den Vektoren (a, 9, 0), (1, a, 0), (0, 5, a)

in ℝ^{3} aufgespannte Unterraum minimale Dimension hat?