[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 6]

1. Es sei φ : ℝ^{2} → ℝ^{3} eine lineare Abbildung. Es sei φ(1, 1) = (1, 0, −2) und φ(1, 2) = (0, 1, −1). Man bestimme φ(7, 12) und φ(x, y).

Endliche Körper

2. Es sei K ein Körper mit endlicher Charakteristik p, (p ≠ 0).

a) Zeigen Sie, daß p eine Primzahl sein muß.

b) Es sei P = {0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, ...., p − 1 = 1 + ... + 1} der Primkörper von K. Zeigen Sie, daß K ein Vektorraum über P ist.

c) Zeigen Sie, daß die Elementezahl von K eine Primzahlpotenz p^{m} sein muß.

3.a) Es sei ℤ_{2} = ({0, 1}, +, ·) der Körper mit 2 Elementen. Geben Sie die Additions- und Multiplikationsregeln in ℤ_{2} an.

b) Zeigen Sie, daß das Polynom f = x^{2} + x + 1 über ℤ_{2} nicht in zwei Faktoren zerfallen kann.

c) Zeigen Sie, daß die 4 Polynome 0, 1, x, x + 1 modulo f einen Körper mit 4 Elementen bilden. Geben Sie die Additions- und Multiplikationstafeln an.

Analog kann man für jede Primzahlpotenz p^{n} einen Körper mit p^{n} Elementen konstruieren: Man nehme ein geeignetes, über ℤ_{p} unzerlegbares Polynom f vom Grad n. Ausgehend von den Polynomen über ℤ_{p} bildet man ℤ_{p}[x]/f. Dieser Körper mit p^{n} Elementen kann als Vektorraum der Dimension n über ℤ_{p} aufgefaßt werden.

4. Betrachten Sie den Vektorraum (ℤ_{2})^{3}.

a) Zählen Sie alle Untervektorräume auf. Versuchen Sie, sich diese geometrisch zu veranschaulichen.

b) Bestimmen Sie die Anzahl der verschiedenen Basen von (ℤ_{2})^{3}.