[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 7]

1. Die Abbildungen S, T : ℝ^{3} → ℝ^{3} seien definiert durch

S(x, y, z) = (y, z, x), T (x, y, z) = (x + y + z, 0, 0).

Man bestimme:

a) (S ∘ T) (1, 0, 1),

b) (T ∘ S) (1, 0, 1),

c) (S + T) (1, 0, 1),

d) S^{−1} ∘ (S + T) ∘ T (1, 0, 1),

e) Kern (S + T).

2. Es sei T : ℝ^{3} → ℝ^{3} eine lineare Abbildung mit

Kern T = {(x, y, z) : 2x − y + z = 0}.

Ferner sei T (0, 0, 1) = (1, 2, 3). Man bestimme T (1, 0, 0) und T (0, 1, 0).

3. Es sei V der von A = {a_{1} = e^{t}, a_{2} = sin t, a_{3} = cos t} erzeugte Vektorraum. Zeigen Sie, daß auch

B = {b_{1} = e^{t} − 2 sin t, b_{2} = sin t + cos t, b_{3} = e^{t} + sin t + 2 cos t}

eine Basis von V ist.

Eine lineare Abbildung φ : V → V sei definiert durch

φ(b_{1}) = e^{t}, φ(b_{2}) = e^{t} + sin t, φ(b_{3}) = 2e^{t}.

Berechnen Sie φ(e^{t}), φ(sin t) und φ(cos t).

4. V, W und U seien endlich dimensionale Vektorräume und f : V → W und g : W → U seien lineare Abbildungen. Zeigen Sie:

a) g ∘ f ist linear.

b) dim Bild (g ∘ f) ≤ min (dim Bild g, dim Bild f).

c) dim Kern(g ∘ f) ≥ dim Kernf.