[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 8]

1. Es seien B und B′ Basen des Vektorraumes V und A ∈ K^{n×n} die Matrix der Basistransformation B′ ⟶ B. Sind x⃗_{B} = (x_{1}, ⋯, x_{n})^{T} und x_{B′} = (x′_{1}, ⋯, x′_{n})^{T} die Koordinatenvektoren von x⃗ bzgl. B bzw. B′ in Spaltenform, dann besteht die folgende Koordinatentransformation:

x_{B′} = A x⃗_{B}. Beweisen Sie dies.

2. Auf dem 2. Übungsblatt haben wir die Abbildung f : ℕ^{3} → ℕ^{3} mit

f(x, y, z) = \{ \begin{matrix}(x + 2z, z, y − x − z) & falls x < y − z \\ (2y − x, y, x − y + z) & falls y − z < x < 2y \\ (x − 2y, x − y + z, y) & falls x > 2y \end{matrix}

betrachtet. Schreiben Sie diese Abbildung mit Matrizen bezüglich der Standardbasis. Nennen wir diese drei Matrizen A, B, C. Beweisen Sie:

a) A = C^{−1}

b) B = B^{−1}

c) Zeigen Sie damit erneut: f ∘ f = id.

d) Berechnen Sie die Potenzen A, A^{2}, A^{3}, · · · .

e) Berechnen Sie BA, BA^{2}, ⋯, BA^{6}.

f) Zeigen Sie, daß AB = BA^{5} gilt.

g) Zeigen Sie, daß die Produkte der Matrizen A, B und C eine endliche Gruppe erzeugen. Wieviele Elemente hat diese Gruppe?

3. Es sei σ : ℝ^{2} → ℝ^{2} die Spiegelung an der Geraden x+y = 0. Man zeige, daß σ ein Automorphismus von ℝ^{2} ist, und bestimme die Matrix von σ bezüglich der Standardbasis.

4. Es sei A = (a_{ij}) ∈ ℝ^{4×4}, a_{ij} = i^{2} + j^{2}. Man bestimme rgA.