[figure: TU CLAUSTHAL; INSTITUT FÜR MATHEMATIK; Prof. Dr. W. Klotz; Lineare Algebra I; WS 1999/2000; Übungsblatt 9]

1. Die Spur einer Matrix A = (a_{ij}) ∈ K^{n×n} ist definiert durch:

Spur A = a_{11} + a_{22} + ⋯ + a_{nn}.

Man zeige:

a) Spur ist eine Linearform auf K^{n×n}.

b) Jede Linearform f auf K^{n×n} hat die Form f(A) = Spur (BA) mit einer eindeutig bestimmten Matrix B.

c) Spur (AB) = Spur (BA),

d) Spur (B^{−1}AB) = Spur A,

e) Spur (AX) = 0 für alle X ∈ K^{n×n} ⟹ A = 0.

2. Es sei (G, +, ·) die Menge der Matrizen ( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} ) mit a, b ∈ ℝ,

versehen mit der normalen Matrizenaddition und Multiplikation. Es sei

E = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

a) Finden Sie ein Element I ∈ G mit I^{2} = −E.

b) Zeigen Sie: (G, +, ·) ≃ ℂ.

c) Folgern Sie: Für alle A, B ∈ G gilt: AB = BA.

3. Es sei

I = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , J = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , K = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) .

Ferner sei E die 4 × 4-Einheitsmatrix. Man zeige:

a) I^{2} = J^{2} = K^{2} = −E, IJ = K, JK = I, KI = J. Berechnen Sie auch JI, KJ und IK.

b) Der von E, I, J, K in ℝ^{4×4} aufgespannte Unterraum H ist ein nicht kommutativer Körper (Schiefkörper). H heißt Quaternionenschiefkörper. Schreibt man statt αE, βI, γJ, δK kurz: α, βi, γj, δk, dann haben die Quaternionen die Form

α + βi + γj + δk; α, β, γ, δ ∈ ℝ.

Man erkennt hieraus, daß H als Erweiterung von ℂ aufgefaßt werden kann.