Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 20.10.1999 Prof. Dr. L. G. Lucht

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 27.10. besprochen; Lösungen sollen nicht abgegeben werden.

1. Finden Sie notwendige Bedingungen an k ∈ ℕ derart, daß 2^{k} + 1 oder 2^{k} − 1 prim sind.

2. Es sei n ∈ ℕ gerade. Zeigen Sie, daß n genau dann vollkommen ist, wenn n von der Form 2^{k} (2^{k+1} − 1) mit einer Primzahl 2^{k+1} − 1 ist.

3. Ermitteln Sie alle Lösungen (x, y, z) ∈ ℕ^{3} von x^{2} + y^{2} = z^{2}.

4. Es seien g, k ∈ ℕ fest, und jedes n ∈ ℕ besitze eine Darstellung

n = n_{1}^{k} + ⋯ + n_{g}^{k} mit n_{1}, …, n_{g} ∈ ℕ_{0} .

Zeigen Sie die Ungleichung

g ≥ [(\frac{3}{2})^{k}] + 2^{k} − 2 .

5. Zeigen Sie, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.

6. Für x ≥ 1 sei A(x) die Anzahl der Zahlenpaare (a, b) ∈ ℤ^{2} mit a^{2} + b^{2} ≤ x. Zeigen Sie die Existenz einer Konstanten c > 0 mit

|A(x) − π x| ≤ c \sqrt{x} .