Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 25.10.1999 Prof. Dr. L. G. Lucht 1. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 3.11.1999 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 1.11.1999, vor der Vorlesung.

1. Zeigen Sie für x ∈ ℝ und n ∈ ℕ:

(a)  [\frac{[x]}{n}] = [\frac{x}{n}] ,  (b)  ∑_{ν=0}^{n−1} [x + \frac{ν}{n}] = [nx].

2. Für genau welche n ∈ ℕ ist ∏_{1≤ν≤n} ν teilbar durch ∑_{1≤ν≤n} ν?

3. Es bezeichne p_{k} die k-te Primzahl. Verwenden Sie den Euklidischen Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge zum Nachweis der Ungleichung

p_{k} < 2^{2^{k−1}} (k ≥ 2).

4. Modifizieren Sie den Euklidischen Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlmenge, um zu zeigen, daß es jeweils unendlich viele Primzahlen der Form 4n − 1 bzw. 6n − 1 (n ∈ ℕ) gibt.

5. Zeigen, Sie, daß es keine Lösungen der Gleichung x^{4} − y^{4} = z^{2} mit ganzzahligen x, y, z ≥ 1 gibt.