Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 22.11.1999 Prof. Dr. L. G. Lucht 5. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 01.12.1999 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 29.11.1999, vor der Vorlesung.

1. Bestimmen Sie sämtliche Lösungen der Kongruenzen

(a) x^{4} + x^{3} − 5x^{2} + 5x − 5 ≡ 0 mod 27 ;

(b) x^{20} + x^{16} + x^{15} + 3x^{9} − x^{8} − 5 ≡ 0 mod 15 .

2. Es sei f(x) ein nicht-konstantes ganzzahliges Polynom. Zeigen Sie, daß die Kongruenz f(x) ≡ 0 mod p für unendlich viele Primzahlen p lösbar ist (Sprechweise : f(x) hat unendlich viele Primteiler).

3. Es seien p ≥ 3 prim und a, b, c ∈ ℤ mit p ∤ a. Zeigen Sie, daß a x^{2}+b x+c ≡ 0 mod p genau dann lösbar ist, wenn y^{2} ≡ b^{2} − 4ac mod p lösbar ist.

4. Zu einer Primzahl p ≥ 3 bezeichne S die Summe und P das Produkt der quadratischen Reste mod p. Zeigen Sie :

(a) Im Fall p > 3 gilt S ≡ 0 mod p.

(b) Für p ≥ 3 ist P ≡ ±1 mod p, je nachdem ob p ≡ ∓1 mod 4 gilt.

5. Für welche n ∈ ℕ existieren x, y ∈ ℤ mit ggT (x, n) = ggT (y, n) = 1 derart, daß x^{2} + y^{2} ≡ 0 mod n gilt ?

(Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall, daß n prim ist. Wenden Sie dann das Ergebnis der Aufgabe 4 von Übungsblatt 4 an.)