Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 17.01.2000 Prof. Dr. L. G. Lucht 10. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 26.01.2000 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 24.01.2000, vor der Vorlesung.

1. (a) Zeigen Sie die Existenz einer Konstanten A > 1 derart, daß für x ≥ 2 stets eine Primzahl p mit x < p ≤ A x existiert.

(b) Es bezeichne p_{n} die n-te Primzahl. Zeigen Sie die Existenz von positiven Konstanten a < b mit a n log n < p_{n} < b n log n für n ≥ 2.

2. Für x > 0 sei π_{2}(x) := ∑_{\begin{matrix}p,q∈ℙ \\ pq≤x \end{matrix}} 1 und θ_{2}(x) := ∑_{\begin{matrix}p,q∈ℙ \\ pq≤x \end{matrix}} log(pq) . Zeigen Sie:

(a) Es gilt θ_{2}(x) = 2 ∑_{p≤ \frac{x}{2}} θ(\frac{x}{p}).

(b) Es gibt positive Konstanten A < B mit

A \frac{x log log x}{log x} ≤ π_{2}(x) ≤ B \frac{x log log x}{log x} (x ≥ 3).

3. Es sei ω(n) die Anzahl der Primteiler von n ∈ ℕ. Zeigen Sie die Existenz einer Konstanten c mit

∑_{n≤x} \frac{ω(n)}{n} = log x log log x + c log x + γ log log x + O(1) (x ≥ 3).

Dabei bezeichnet γ die Euler-Mascheroni-Konstante.

4. Zeigen Sie, daß es eine Konstante C ≥ 0 gibt mit

(a) ∑_{p≤x} log (1 − \frac{1}{p}) = − log log x − C + O(\frac{1}{log x}) (x ≥ 2),

(b) ∏_{p≤x} (1 − \frac{1}{p}) = \frac{e^{−C}}{log x} + O(\frac{1}{log^{2} x}) (x ≥ 2).