Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 24.01.2000 Prof. Dr. L. G. Lucht 11. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 02.02.2000 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 31.01.2000, vor der Vorlesung.

1. (a) Geben Sie die Gruppenstruktur von G(q) = (ℤ/qℤ)^{∗} für q = 1, …, 16 an (kein

Beweis, evtl. ein Stichwort als Begründung.)

(b) Geben Sie alle Dirichletcharaktere (in Form einer Charaktertafel) für eine repräsentative Auswahl von q = 1, …, 16 an, etwa q = 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 15, 16.

(c) Vergleichen Sie die Fälle q = 5, 8, 10, 12. Können Sie einen ”Grund“ angeben, warum die Charaktere modulo 8 alle reell sind?

2. Beweisen Sie Satz 2 der Vorlesung.

(a) Für χ ∈ Ĝ(q) gilt ∑_{n∈G(q)} χ(n) = \{ \begin{matrix}φ(q) für χ = χ_{0} \\ 0 sonst. \end{matrix}

(b) Für n ∈ G(q) gilt ∑_{χ∈Ĝ(q)} χ(n) = \{ \begin{matrix}φ(q) für n ≡ 1 mod q \\ 0 sonst. \end{matrix}

(c) Wenn Sie ∑_{χ∈Ĝ(q)} ∑_{n∈G(q)} χ(n) betrachten, können Sie einen neuen Beweis von

|Ĝ(q)| = φ(q) angeben. Hinweis: Sie können in (b) das Ergebnis |G(q)| = |Ĝ(q)| aus der Vorlesung verwenden. Um in (c) einen neuen Beweis zu erhalten, sollten Sie es dann nicht direkt einsetzen.

3. Es sei q = 5 und b ∈ {1, 2, 3, 4}.

(a) Geben Sie eine aus Dirichletcharakteren zusammengesetzte Funktion f an, so daß f(n) = 1 für n ≡ b mod 5 und f(n) = 0 sonst gilt.

(b) Zeigen Sie L(χ , 1) ≠ 0 für alle Dirichletcharaktere modulo 5. Zeigen Sie, daß L(χ , 1) für alle χ ≠ χ_{0} nicht reell ist. Was passiert für χ = χ_{0} ?

(c) Folgern Sie, daß ∑_{p∈ℙ} \frac{χ(p)}{p} für χ ≠ χ_{0} konvergiert (Hinweis: Eulerprodukt).

(d) Zeigen Sie ∑_{\begin{matrix}p≤x \\ p≡bmod5 \end{matrix}} \frac{1}{p} ∼ \frac{1}{4} log log x und folgern Sie, daß es in jeder primen Restklasse

modulo 5 unendlich viele Primzahlen gibt.