Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 31.01.2000 Prof. Dr. L. G. Lucht 12. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 09.02.2000 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 07.02.2000, vor der Vorlesung.

1. (a) Es sei p eine ungerade Primzahl. Zeigen Sie, daß das Legendre-Symbol (\frac{·}{p}) ein reeller

Charakter modulo p ist.

(b) Es seien p_{1} , …, p_{r} verschiedene ungerade Primzahlen. Wieviele reelle Charaktere gibt es modulo q = p_{1} ⋯ p_{r}? (Mit genauer Begründung !) Geben Sie die Anzahl der reellen Charaktere für beliebiges q ∈ ℕ an. (Kurze Begründung genügt !)

2. Zeigen Sie 1 < (s − 1) ζ(s) < s für s > 1 und folgern Sie lim_{s→1+} (s − 1) ζ(s) = 1 .

3. (a) Beweisen Sie Lemma 2 der Vorlesung : Es sei ggT (a, q) = 1, und a habe in G(q) die Ordnung h, so daß χ(a) eine h-te Einheitswurzel ist. Alle h-ten Einheitswurzeln werden von χ(a) gleichhäufig angenommen, wenn χ alle Restklassencharaktere modulo q durchläuft (Hinweis : Vergleichen Sie dies mit dem Beweis, daß Nebenklassen von Untergruppen gleichgroß sind).

(b) Erläutern Sie damit folgende Rechnung : Es sei ξ = exp (\frac{2πi}{h}), z = p^{−s} und p ∤ q. Dann ist

∏_{χ∈Ĝ(q)} (1 − χ(p) p^{−s}) = ∏_{λ=0}^{h−1} (1 − ξ^{λ} z)^{\frac{φ(q)}{h}} = (1 − z^{h})^{\frac{φ(q)}{h}} = (1 − p^{−hs})^{\frac{φ(q)}{h}} ≤ 1 .

4. Es sei χ ein reeller Charakter und f = 1 ∗ χ. Zeigen Sie

(a) f(n) ≥ 0 für n ∈ ℕ.

(b) f(m^{2}) ≥ 1 für m ∈ ℕ.

(c) Folgern Sie, daß ∑_{n=1}^{∞} \frac{f(n)}{\sqrt{n}} divergiert.

5. (a) Beweisen Sie, daß es unendlich viele Primzahlen p ≡ 1 mod 4 gibt, indem Sie zeigen, daß die Primteiler der Funktionswerte des Polynoms f(x) = 4x^{2} +1 nur von der Form p ≡ 1 mod 4 sein können.

(b) Beweisen Sie analog, daß es unendlich viele Primzahlen p ≡ 1 mod 3 gibt. Hinweis : Betrachten Sie die Primteiler von f(x) = x^{2} + x + 1 .

(c) Versuchen Sie, (b) zu verallgemeinern : Zu jeder Primzahl q liegen in der Restklasse 1 mod q unendlich viele Primzahlen.