Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 13.12.1999 Prof. Dr. L. G. Lucht 8. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 12.01.2000 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 10.01.2000, vor der Vorlesung.

1. Zeigen Sie für n ∈ ℕ:

(a) ∑_{d|n} μ(d) τ(\frac{n}{d}) = 1 , (b) ∑_{d|n} μ(d) τ(d) = (−1)^{ω(n)} ,

(c) ∑_{d^{2}|n} μ(d) = μ^{2}(n) , (d) ∑_{d|n} μ(d) φ(d) = 0 ⟺ 2 | n.

2. Es sei

Φ_{m}(z) = ∏_{d|m} (z^{\frac{m}{d}} − 1)^{μ(d)} (m ∈ ℕ , z ∈ ℂ , |z| ≠ 1).

Zeigen Sie

∏_{m|n} Φ_{m}(z) = z^{n} − 1 .

3. Der Träger von f : ℕ → ℂ ist die Menge supp f := {n ∈ ℕ : f(n) ≠ 0}. Zeigen Sie, daß f additiv ist, wenn supp (μ ∗ f) ⊆ ℙ^{∗} gilt.

4. (a) Es sei f : ℕ → ℂ mit f(1) ≠ 0 . Zeigen Sie, daß es genau zwei Funktionen g : ℕ → ℂ mit g ∗ g = f gibt.

(b) Es sei f : ℕ → ℂ multiplikativ. Zeigen Sie, daß es genau eine multiplikative Funktion g mit g ∗ g = f gibt.

(c) Die Funktion g : ℕ → ℂ sei zunächst auf ℙ^{∗} erklärt durch g(p^{k}) = (−1)^{k} \binom{− \frac{1}{2}}{k} für p^{k} ∈ ℙ^{∗} und werde dann von ℙ^{∗} auf ℕ multiplikativ fortgesetzt. Zeigen Sie g ∗ g = 1 . (Hinweis: Binomische Reihe)