Technische Universität Clausthal WS 1999/2000 Institut für Mathematik 10.01.2000 Prof. Dr. L. G. Lucht 9. Übungsblatt

Elementare Zahlentheorie

Diese Aufgaben werden in der Übungsstunde vom 19.01.2000 besprochen; Abgabe schriftlicher Lösungen bitte am Montag, 17.01.2000, vor der Vorlesung.

1. Für a, n ∈ ℕ sind die Ramanujan-Summen c_{n}(a) erklärt als Summe der a-ten Potenzen der n-ten primitiven Einheitswurzeln e^{2πiν/n} mit 1 ≤ ν ≤ n, ggT (ν, n) = 1. Es sei weiter η_{a}(n) = n für n | a und η_{a}(n) = 0 für n ∤ a.

(a) Zeigen Sie c_{n}(a) = (μ ∗ η_{a})(n) .

(b) Beweisen Sie, daß c_{n}(a) für jedes a ∈ ℕ eine multiplikative Funktion von n ist.

(c) Bestimmen Sie c_{n}(a) für Primzahlpotenzen n = p^{k}.

2. Die arithmetische Funktion h : ℕ → ℂ besitzt die erzeugende Dirichletschen Reihe h̃(s) := ∑_{n=1}^{∞} h(n) n^{−s} (s ∈ ℂ). Zeigen Sie : Hat f : ℕ → ℂ die Darstellung f = 1 ∗ h mit einer arithmetischen Funktion h, für die h̃(1) absolut konvergiert, so hat f einen Mittelwert M(f) := lim_{x→∞} x^{−1} ∑_{n≤x} f(n) , und es gilt M(f) = h̃(1) .

3. Verwenden Sie die Idee von Aufgabe 2 zum Nachweis von

∑_{n≤x} μ^{2}(n) = \frac{6}{π^{2}} x + O(\sqrt{x}) (x ≥ 1).

4. Zeigen Sie, daß es reelle Konstanten A, B gibt mit

(a) ∑_{n≤x} \frac{μ^{2}(n)}{n} = \frac{6}{π^{2}} log x + A + O(\frac{1}{\sqrt{x}}) (x ≥ 1),

(b) ∑_{2≤n≤x} \frac{1}{n log n} = log log x + B + O(\frac{1}{x log x}) (x ≥ 2).