3. Übungsblatt (Musterlösung)
25. 11. 2009
Die heutigen Übungen sollen mit dem Computeralgebrasystem Sage gelöst werden.
Die Lösung der Beispiele soll auf möglichst kompakte Weise erfolgen. Wenn zum Beispiel eine Funktion für mehrere Werte berechnet werden soll, soll das mittels einer geeigneten Schleifen oder Listen Operation erfolgen, und nicht alle Werte einzeln eingetippt werden.
Zwischenergebnisse welche in einem weiteren Berechnungsschritt benötigt werden, sollen in eine Variable gespeichert und weiterverwendet werden (nicht neu eintippen).
Bestimmen Sie die Anzahl der Stellen, sowie die Summe der Ziffern von $n!$ wobei $n$ die Werte 1, 10, 100, 1000, 10000 und 100000 annimmt.
{{{id=228| [factorial(10^i).ndigits() for i in [0..5]] /// [1, 7, 158, 2568, 35660, 456574] }}} {{{id=231| [sum(factorial(10^i).digits(base = 10)) for i in [0..5]] /// [1, 27, 648, 10539, 149346, 1938780] }}} {{{id=242| factorials = [factorial(10^i) for i in [0..5]] table = [[f.ndigits(), sum(f.digits(base = 10))] for f in factorials] table = [["Number of Digits", "Sum of Digits"]] + table html.table(table, header = True) ///| Number of Digits | Sum of Digits |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 7 | 27 |
| 158 | 648 |
| 2568 | 10539 |
| 35660 | 149346 |
| 456574 | 1938780 |
Untersuchen Sie, für welche $n \leq 30$ die Primfaktorzerlegung von $f(n)=n!-1$ Primfaktoren mehrfach enthält. Geben sie eine Liste dieser Zahlen und ihrer Primfaktorzerlegungen aus.
{{{id=154| def f(n): return factorial(n) + 1 /// }}} {{{id=151| fact_primes = [[n, f(n), factor(f(n))] for n in [1..30] if squarefree_part(f(n)) != f(n) ] fact_primes = [["n", "n!", "Primfaktoren"]] + fact_primes html.table(fact_primes, header = True) ///| n | n! | Primfaktoren |
|---|---|---|
| 4 | 25 | 5^{2} |
| 5 | 121 | 11^{2} |
| 7 | 5041 | 71^{2} |
| 12 | 479001601 | 13^{2} \cdot 2834329 |
| 23 | 25852016738884976640001 | 47^{2} \cdot 79 \cdot 148139754736864591 |
| 4 | 25 | 5^{2} |
| 5 | 121 | 11^{2} |
| 7 | 5041 | 71^{2} |
| 12 | 479001601 | 13^{2} \cdot 2834329 |
| 23 | 25852016738884976640001 | 47^{2} \cdot 79 \cdot 148139754736864591 |
Eine Zahl $M_p = 2^p-1$ ist höchstens dann eine Primzahl wenn $p$ selbst prim ist. Primzahlen dieser Form nennt man Mersennesche Primzahlen.Die größten bekannten Primzahlen haben diese Form. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Mersennesche Primzahlen gibt.
Bestimmen Sie für $p\leq 500$ alle Mersenneschen Primzahlen. Geben Sie Ihr Ergebnis als Tabelle mit den Spalten $p$ und $M_p$ an.
| p | M_{p} |
|---|---|
| 2 | 3 |
| 3 | 7 |
| 5 | 31 |
| 7 | 127 |
| 13 | 8191 |
| 17 | 131071 |
| 19 | 524287 |
| 31 | 2147483647 |
| 61 | 2305843009213693951 |
| 89 | 618970019642690137449562111 |
| 107 | 162259276829213363391578010288127 |
| 127 | 170141183460469231731687303715884105727 |
Der älteste Algorithmus zur Berechnung von Primzahlen, ist der Sieb des Eratosthenes (Siehe: Wikipedia).
Schreiben Sie eine Funktion sieb(n), die eine Liste aller Primzahlen $\leq n$ mit Hilfe des Siebes von Eratosthenes berechnet.
Achtung: Die in Sage eingebauten Funktionen zur Berechnung von Primzahlen, dürfen in diesem Beispiel nicht verwendet werden.
{{{id=277| def sieb(n): primes = [] liste = [2..n] while liste != []: current_prime = liste[0] primes.append(current_prime) liste = [p for p in liste if not current_prime.divides(p)] return primes /// }}} {{{id=267| prime_range(50) /// [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47] }}} {{{id=278| sieb(50) /// [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47] }}}Bringen Sie den folgenden Ausdruck auf eine möglichst einfache Form
$$\left(\frac{\bigl(\sqrt{x^3}-\sqrt{8}\bigr)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{2}\bigr)}{x+\sqrt{2x}+2}\right)^2 + \sqrt{(x^2+2)^2 - 8x^2}.$$