Sommer 2024 — Proseminar „Polynome“

Verantwortlich für diese Lehrveranstaltung ist Marc Technau.

Beschreibung

„Polynomials pervade mathematics, and much that is beautiful in mathematics is related to polynomials.“ — P. Borwein & T. Erdélyi.

Themen

  1. Fundamentalsatz der Algebra: Es sollen die Zerlegungssätze für Polynome mit komplexen bzw. reellen Koeffizienten entwickelt werden (siehe [Königsberger, § 4.2]). Insbesondere soll ein Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra mit Methoden der Analysis 1 gegeben werden. (Literatur: [Königsberger, § 4.2, § 7.6].)
  2. Teilbarkeitslehre in Polynomringen: In diesem Vortrag soll gezeigt werden, dass ganz in Analogie zu den ganzen Zahlen für Polynome (über einem Körper) eine Art „eindeutige Primfaktorzerlegung“ möglich ist. (Literatur: [Bosch, § 5.2 bis Satz 15]. Das Thema ist umfangreich genug, um sich auf zwei Vorträge aufteilen zu lassen.)
  3. ABC für Polynome und Fermat: Es soll der Satz von Masen–Stothers über Lösungen der Gleichung \( a + b = c \) in Polynomen besprochen werden. Ferner soll erklärt werden, wie daraus eine polynomielle Variante der berühmten Fermatschen Vermutung folgt und es sollen Querverbindungen zur abc-Vermutung von Oesterlé und Masser, sowie deren Bedeutung für die Fermatsche Vermutung erläutert werden. (Literatur: [Lang, Ch. IV, § 7].)
  4. Interpolationsaufgaben: In diesem Vortrag sollen Lagrange-Interpolation und (die allgemeinere) Hermite-Interpolation vorgestellt werden und Fehlerschranken bewiesen werden. (Literatur: [Borwein, S. 8–7, E.6 und E.7].)
  5. Ganzwertige Polynome: Dieser Vortrag soll von den Polynomen \( f \in \mathbb{Q}[X] \) handeln, welche auf \(\mathbb{Q}\) nur ganzzahlige Werte annehmen. (Es handelt sich um strikt mehr Polynome als in \(\mathbb{Z}[X]\) zu finden sind, wie das Beispiel \( (X-1) X / 2 \) zeigt.) Besprochen werden soll [Borwein, S. 10–11, E.10, wahlweise ohne Teil f] und es soll ein Ausblick auf kuriose Faktorisierungseigenschaften gegeben werden ([Cahen, Theorem 7], vorzugsweise mit Beweisskizze).
  6. Čebyšëv-Polynome: Es soll das Problem, das Polynom \( X^n \) auf \( [-1,1] \) durch Polynome von kleinerem Grad bestmöglich gleichmäßig zu approximieren, vorgestellt werden. Dieses führt auf die sogenannten Čebyšëv-Polynome (Schreibweisen variieren: Chebyshev, Tschebyschow, uvm.). (Literatur: [Borwein, S. 29–31, Theorem 2.1.1, inklusive E.1 und E.2].)
  7. Nicht-negative Polynome und Summen von Quadraten: Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe zweier Quadrate schreiben? Diese und ähnliche Fragestellungen gehören in die Zahlentheorie (siehe etwa [Hardy, § 20.1–20.2]). In diesem Vortrag sollen einige ähnliche (aber weniger arithmetische) Fragen für Polynome beantwortet werden. (Literatur: [Borwein, S. 85–86, E.3]; Teil c darin ist ein bekannter Satz von Fejér Riesz. Siehe auch [Montgomery, § 6.3].)
  8. Weierstraßscher Approximationssatz: Ziel des Vortrages ist es, den Weierstraßschen Approximationssatz — auch oft als „Fundamentalsatz der Approximationstheorie“ bezeichnet — zu beweisen. Dieser besagt, dass sich jede auf einem Intervall stetige reell- oder komplexwertige Funktion auf selbigem Intervall beliebig genau gleichmäßig durch Polynome approximieren lässt. Das Thema eignet sich auch für mehrere Vorträge, in denen verschiedene Beweise näher beleuchtet werden können. Optionen sind etwa ein Beweis mittels Faltungen (siehe [Königsberger, § 15.5]), ein Beweis von Lebesgue über Approximation mit Polygonzügen (siehe [Borwein, S. 159–161, E.1]), oder ein konstruktiver Beweis mittels Bernstein-Polynomen (siehe [Borwein, S. 163–164, E.3a und E.4]).
  9. Satz von Müntz: Der Satz von Müntz dehnt den Weierstraßschen Approximationssatz auf sogenannte „Müntz-Polynome“ aus. (Diese erhält man, wenn man bei Polynomen reelle Exponenten zulässt.) Es gibt viele Varianten des Satzes von Müntz in verschiedenen Komplexitätsabstufungen. Hier soll ein auf Szász zurückgehender Beweis des Satzes von Müntz vorgestellt werden, der eine ganz besonders ästhetische Synthese von Methoden der Analysis, sowie Linearen Algebra darstellt. (Literatur: [Borwein, S. 171 und E.2 auf S. 176–177]. Achtung: Anspruchsvoll!)

Literatur