Discrete Mathematics 2010-2022

Given $p \in [0,1]$, let $\mu _p$ denote the product measure on the cube $\{0,1\}^n$. It is well known that if ${\cal F} \subset \{0,1\}^n$ is a monotone family then the measure $\mu _p({\cal F})$ is monotonically increasing with $p$. The family has a sharp threshold at $p$ if a small increase in $p$ leads to a significant increase in $\mu _p ({\cal F})$.



The existence of sharp thresholds is of interest to a wide range of topics and has received considerable attention. When $p$ is bounded away from $0$ or $1$ the picture is quite well understood, but the case when $p$ is small is more challenging. In this talk I will discuss some recent results in this regime, which improve several previous bounds.


Our sharp threshold results also have significant applications in Extremal Combinatorics. Here we obtain new results on the Turán number of any bounded degree uniform hypergraph obtained as the expansion of a hypergraph of bounded uniformity. These results are asymptotically optimal and solve a number of open problems in the area.


Joint work with Peter Keevash, Noam Lifshitz and Dor Minzer.

Meeting link:
\[
\text{https://tugraz.webex.com/tugraz/j.php?MTID=me01f43109c693c884b459339d643d7d9}
\]

Meeting number: 121 128 5385

Password: e8pQ8ZBQN4B

This Bachelor seminar talk will be given in German !

Im zweiten Teil werden wir die Alexander-Methode formulieren und mittels Grundlagen über Dehn-Twists ein nicht triviales Beispiel der Abbildungsklassengruppe herleiten, Anwendungsbeispiele der Alexander-Methode hören und die Begriffe Simplex und Komplex besprechen. Den Abschluss bildet die Anwendung des Satzes von Dehn-Lickorish im Beweis zum Satz von Lickorish-Wallace in Hinblick auf dreidimensionale Mannigfaltigkeiten.

webex meeting

meeting number: 121 451 4288

Password: 3fKvgMKwE34

https://tugraz.webex.com/tugraz/j.php?MTID=m3b70821f24292b72d5c089c8326854a1}

meeting wird um 10:45 geöffnet, der Vortrag wird um 11:00
beginnen.

This Bachelor seminar talk will be given in German !

Abstract: In diesem Seminarvortrag beschäftigen wir uns mit dem Satz von
Dehn-Lickorish. Im Mittelpunkt steht die Einführung der
Abbildungs-klassengruppe und der Dehn-Twists. Dazu betrachten wir die
Elemente der Abbildungsklassengruppe am Besten, indem wir ihre Auswirkungen
auf Homotopieklassen einfacher, geschlossener Kurven studieren. Wir werden
sowohl fundamentale Beispiele der Abbildungs-klassengruppe als auch die
Alexander-Methode besprechen. Den Abschluss bildet die Anwendung des Satzes
von Dehn-Lickorish im Beweis zum Satz von Lickorish-Wallace in Hinblick auf
dreidimensionale Mannigfaltigkeiten und dient als Basis für viele Bereiche
der Mathematik: Die Nielsen-Thurston-Klassifikation teilt ihre Elemente in
periodische, reduzible und Pseudo-Anosov Abbildungsklassen ein.

Ein zweiter Vortrag (Fortsetzung) ist für die Folgewoche geplant, es wird eine nochmalige Einladung ergehen.

webex meeting

meeting number: 121 072 6735

Password: TPgavhDg335

https://tugraz.webex.com/tugraz/j.php?MTID=me31079b740c931cb97a5543456ef6239}

meeting wird um 10:30 geöffnet, der Vortrag wird um 11:00
beginnen.

Organisator/in: W. Woess