Sommer 2023 — Einführung in die Algebra (VO+UE)

Verantwortlich für die Vorlesung und die Übungen ist Marc Technau (E-Mail).

Die Inhalte auf dieser Webseite werden laufend aktualisiert. Bitte beachten Sie den Zeitstempel am unteren Ende der Seite.

Termine

Vorlesung:

Mi., 10:15–11:45 Uhr, Hörsaal BE01

Do., 12:00–13:30 Uhr, Hörsaal BE01

Übung:

Gruppe 1: Mi., 14:15–15:00 Uhr, Seminarraum Analysis–Zahlentheorie (Raum NT·02·008)

Gruppe 2: Mi., 15:15–16:00 Uhr, Seminarraum Analysis–Zahlentheorie (Raum NT·02·008)

Inhalt und Voraussetzungen

Die Lehrveranstaltung gibt eine Einführung in die Gruppentheorie und die Ringtheorie, sowie einen kurzen Blick auf die Körpertheorie (welche in der weiterführenden Vorlesung Algebra im kommenden Wintersemester vertieft werden kann).

Bei Gruppen handelt es sich um Strukturen, welche den Begriff der „Symmetrie“ in algebraischer Weise fassen. Symmetrien, welche man dabei vor Augen hat, können sehr mannigfaltig ausfallen. Neben offensichtlich „geometrischen Symmetrien“, wie Dreh- und Spiegelsymmetrien von Objekten in der Ebene und dem dreidimensionalen Anschauungsraum, interessiert man sich auch für Symmetrien mathematischer Strukturen, wie etwa Automorphismen von topologischen Räumen, Graphen, oder Vektorräumen. Aus der linearen Algebra kennt man schon diverse Gruppen, welche Symmetrien beschreiben: die generelle lineare Gruppe eines Vektorraums (Symmetrien des Vektorraums), die spezielle lineare Gruppe (volumentreue lineare Symmetrien), orthogonale Gruppen (winkeltreue Symmetrien), etc. Die Einführung in die Algebra ist bemüht, generelle Methoden zum Studium (vorwiegend endlicher) Gruppen zur Verfügung zu stellen. Themen sind etwa Homomorphie- und Isomorphiesätze, die Klassifikation endlicher abelscher Gruppen. Darüber hinaus besprechen wir Existenzsätze für gewisse Unterstrukturen (Sätze von Sylow), symmetrische Gruppen, sowie Anwendungen der entwickelten Theorie auf kombinatorische Zählprobleme (Satz von Pólya–Redfield).

Die Vorlesung liefert zusätzlich eine Einführung in die Ringtheorie. Neben der Behandlung gewisser Grundbegriffe für allgemeine Ringe, richtet sich der Fokus in weiterer Folge primär auf die Theorie der kommutativen Ringe. Dabei stehen Themen im Vordergrund, welche von zahlentheoretischem, oder kryptographischem Interesse sind. Diese beinhalten beispielsweise die Bestimmung der Struktur von der Ringe ℤ/nℤ und der Einheitengruppe und Teilbarkeitslehre in Integritätsbereichen und spezielleren Klassen von Ringen. Insbesondere letzteres legt den Grundstein für das Studium der Körpertheorie in der Vorlesung Algebra.

Zum Abschluss werden einige ausgewählte Themen mit zahlentheoretischem Bezug besprochen. Dies betrifft die Lösung einiger klassischer diophantischer Gleichungen mittels der entwickelten Faktorisierungstheorie, sowie die Besprechung berühmter Konstruktionsprobleme der Antike mit Zirkel und Lineal.

Aus dem Lehrveranstaltungsinhaltskatalog:
Einführung in die Gruppentheorie (Homomorphie- und Isomorphiesätze, Struktursatz für endliche abelsche Gruppen), Ringtheorie (Homomorphiesatz, Chinesischer Restsatz, Struktur von ℤ/nℤ und dessen Einheitengruppe, Polynomringe, Hilbertscher Basissatz, Existenzsatz für Primideale, Euklidsche und faktorielle Ringe, Teilbarkeitslehre in Integritätsbereichen, Gaußsches Lemma), Grundbegriffe der Körpertheorie (Quotientenkörper, endliche Körper).

Generelle Vertrautheit mit mathematischer Arbeitsweise wird vorausgesetzt. Kenntnisse in linearer Algebra sind hilfreich zum Verständnis mancher Beispiele, aber nicht zwingend erforderlich.

Eine natürliche Fortsetzung dieser Vorlesung ist durch die Vorlesung Algebra im Wintersemester 2023/24 gegeben. Diese wird von Michael Wibmer Niclas Technau Noema Nicolussi gehalten. Ein Besuch jener Veranstaltung wird wärmstens empfohlen!

Online-Lehre

Eine Aufzeichnung der Vorlesung ist nicht geplant. Es gibt allerdings Vorlesungsaufzeichnungen aus dem Sommersemester 2021, welche keine großen inhaltlichen Unterschiede aufweisen. Um sicherzustellen, dass Sie Zugang zu den Videos haben, melden Sie sich bitte auf TUG▪online zur Vorlesung an.

Prüfungsmodus

Bestehen der Übung

Die Benotung richtet sich nach (B) wöchentlicher Bearbeitung und elektronischer Abgabe von Übungsaufgaben, (P) der Präsentation Ihrer Lösungen während der Übungsstunden und (M) Ihrer Mitarbeit in den Übungen. Näheres zu diesen drei Bewertungsaspekten erfahren Sie weiter unten. Ihr Gesamtergebnis η berechnet sich dann gemäß der folgenden Gewichtung aus Ihren Teilleistungen zu den obigen drei Bewertungsaspekten:

η = 60% · (B) + 30% · (P) + 10% · (M).

(Die Teilleistungen sind in dieser Formel als Quotient der in dem jeweiligen Bewertungsaspekt erreichten Punkte und der dort maximal erreichbaren Punktzahl zu verstehen.) Ihre Note berechnet sich dann gemäß der folgenden Tabelle:

Die Abgabe einer Bearbeitung zu einem Übungsblatt nebst Anmeldung zur Übung auf TUG▪online zählt als Prüfungsantritt und zieht eine Benotung am Ende des Semesters nach sich, sofern nicht bis zum 31.03.2023 eine Abmeldung via TUG▪online erfolgt. Umgekehrt ist das über den 31.03.2023 hinaus zur Übung angemeldet sein eine Grundvoraussetzung für das Bestehen der Übung.

(B): Bearbeitung von Übungsaufgaben

Auf der Webseite werden während des Semesters wöchentlich Übungsaufgaben veröffentlicht. Diese sind bis zur darauffolgenden Woche zu bearbeiten. Ihre Lösungen sind anschließend abzugeben (wo und wie wird noch geklärt). Auf die Bearbeitung mancher Übungsaufgaben werden Punkte vergeben. Bei der Bewertung der Bearbeitung wird neben der mathematischen Korrektheit auch auf die Qualität der schriftlichen Präsentation Wert gelegt. Grundsätzlich sind Gedankengänge klar und nachvollziehbar in ganzen Sätzen auszuführen. Sofern in den Aufgaben nichts Gegenteiliges mitgeteilt wird, sind zu deren Lösung nur Ergebnisse zu verwenden, die bereits aus dieser Vorlesung bekannt sind.

Die Lösungen zu Übungsblättern dürfen (und sollen!) zu zweit abgegeben werden. Das Abschreiben von Lösungen ist hingegen nicht erlaubt. Sollte sich der Verdacht erhärten, dass abgeschriebene Lösungen vorliegen, werden diese für alle beteiligten Parteien mit Null Punkten bewertet.

Auf Grund von Kapazitätsproblemen kann voraussichtlich nur ein Teil der Übungsaufgaben korrigiert werden. Die Aufgaben, deren Lösungen korrigiert werden, sind auf den Übungsblättern als bepunktet angegeben.

(P): Präsentation von Lösungen

Während der Übungsstunden wird Ihnen die Möglichkeit geboten, sich freiwillig zum Präsentieren Ihrer Lösung zu melden. Es soll mindestens drei mal präsentiert werden. Ihr Ergebnis für diesen Bewertungsaspekt erhöt sich um 33,3% pro Präsentation bis zu einem Maximum von 100%.

(M): Mitarbeit

Ihre Mitarbeit während den Übungsstunden wird bis zum Ende des Semesters bewertet. Bewertungskriterien sind regelmäßige Teilnahme an den Übungsstunden, das Stellen thematisch relevanter Fragen, das Beantworten solcher Fragen von anderen und die generelle aktive Beteiligung an der Diskussion des Vorlesungs- und Übungsstoffs während der Übungsstunden.

Bestehen der Vorlesung

Die Prüfung zur Vorlesung erfolgt mündlich in Form einer ca. 30-minütigen Einzelprüfung. Gesuche um Prüfungstermine sind bitte via E-Mail an Marc Technau zu richten.

Aus Effizienzgründen sei allerdings versucht in einer Woche im Juli möglichst viele Prüfungen abzuarbeiten. Die genaue zeitliche Lage hiervon wird noch im Laufe des Semesters bestimmt. (Ihre Möglichkeit, individuelle Prüfungstermine zu erbitten, bleibt davon natürlich unberührt.)

Die genauen Prüfungsmodalitäten werden hier näher erläutert.

Vorlesungsaufzeichnungen

Die Videos von der Vorlesung im Sommer 2021 stehen auf TUbe zur Verfügung. Stellen Sie sicher, dass Sie dort eingeloggt sind, um Zugriff auf die Videos haben.

Literaturauswahl

• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0. Band 104 in Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: AMS, 2009.
• M. Artin. Algebra. London: Pearson, zweite Ausgabe, 2011.
• S. Bosch. Algebra. Berlin: Springer, achte Ausgabe, 2013.
• C. Karpfinger und K. Meyberg. Algebra. Gruppen, Ringe, Körper. Berlin: Springer, vierte Ausgabe, 2017.
• S. Lang. Algebra. Band 211 in Graduate Texts in Mathematics. New-York: Springer, dritte Ausgabe, 2002.
• J. Wolfahrt. Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Braunschweig: Vieweg, 2011.

Vorlesungsskriptum

Das gesamte Skriptum gibt es hier als eine PDF-Datei.

Übungsblätter

Tutoriumsblätter

• Tutorium 1 mit Lösung (Besprochen am 08.03.2023)