Winter 2021 — Algebra (VO+UE)

Verantwortlich für die Lehrveranstaltung ist Marc Technau (E-Mail).

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Termine

Vorlesung:

Mi., 15:15–16:45, Hörsaal BE01

Fr., 14:15–15:45, Hörsaal BE01

Übung:

Di., 12:30–13:30, Raum NT·02·008

Bitte beachten Sie, dass zum Zeitpunkt der Verfassung dieses Textes das Betreten von Gebäuden der TU Graz nur für Personen mit gültigem 3-G-Nachweis gestattet ist. Bitte halten Sie den Nachweis zu Ihrem 3-G-Status zu jeder Zeit bei einem Aufenthalt in Gebäuden der TU Graz bereit, da dieser gegebenenfalls kontrolliert wird.

Inhalt und Voraussetzungen

Das Hauptaugenmerk der Vorlesung liegt auf der Körpertheorie. Die Tatsache, dass Homomorphismen zwischen Körpern stets injektiv sind, verhindert die aus der Ringtheorie als sehr nützlich bekannte Faktorbildung; Das Studium von Teilkörpern und Körpererweiterungen erhebt sich also zum zentralen Betrachtungsobjekt.
Im Rahmen der Vorlesung klären wir die Existenz interessanter Körpererweiterungen (z.B. die Frage, ob jeder Körper einen algebraischen Abschluss besitzt) und untersuchen gewisse diesen zugeordnete Automorphismengruppen.
Als Anwendung erhalten wir unter anderem ein gutes Verständnis aller endlichen Körper.
Ein Meilenstein der Algebra ist die Entwicklung der Galois-Theorie, welche eine 1:1-Korrespondenz zwischen Zwischenkörpern und den Untergruppen dieser Automorphismengruppen herstellt und speziell durch das Wechselspiel zwischen Körper- und Gruppentheorie eine erstaunliche Schlagkraft entfaltet. Wir behandeln diese Theorie nebst einigen Anwendungen derselben (z.B. Fundamentalsatz der Algebra und der Satz von Abel–Ruffini). Die nebenstehende Abbildung veranschaulicht die Galois-Korrespondenz anhand der Körpererweiterung $\mathbb{Q}(a,i)/\mathbb{Q}$ mit $a=\sqrt[4]{2}$ (modulo einiger Vereinfachungen auf der Gruppenebene).

Im zweiten Teil der Vorlesung geben wir eine Einführung in die Theorie der Moduln (salopp gesagt sind dies „Vektorräume über Ringen“). Hauptziel ist es, diverse scheinbar unverwandte Normalformergebnisse aus der linearen Algebra als Spezialfall eines umfassenden Strukturergebnisses zu erkennen.

Aus dem Lehrveranstaltungsinhaltskatalog:
Körper­theorie (normale und separable Kör­perer­weiterungen, algebraischer Abschluss, Hilbertscher Null­stellen­satz, Haupt­satz der Galois­theorie, Ver­schie­bungs­satz, Fundamental­satz der Algebra, Kreis­teilungs­körper, Aufösbarkeit durch Radikale, Trans­zendenz­basen), Weiter­führ­ung der Gruppen­theorie (Operation von Gruppen auf Mengen, Per­mu­tations­grup­pen, Sylowsätze, Aufösbarkeit), Grund­be­griffe der Modul­theorie (endl­ich erzeugte Moduln, Faktor­modul).

Vertrautheit mit Gruppen- und Ringtheorie im Rahmen der Vorlesung Einführung in die Algebra vom Sommer 2021 wird vorausgesetzt. Vertrautheit mit der Theorie der Vektorräume über Körpern aus der Linearen Algebra wird ebenfalls vorausgesetzt (Basen, Dimension, Normalformtheorie, insbesondere Jordan-Normalform).

Online-Lehre

Es ist geplant die Vorlesung aufzuzeichnen (siehe weiter unten). Um sicherzustellen, dass Sie Zugang zu den Videos haben, melden Sie sich bitte auf TUG▪online zur Vorlesung an. Bitte beachten Sie, dass bei einer physische Teilnahme an der Vorlesung Ihrerseits nicht gänzlich ausgeschlossen werden kann, dass Sie auf Ton- oder Bildmitschnitten erscheinen, obwohl sich die Aufnahmen primär auf den Tafelbereich beschränken werden. Im Falle einer physischen Teilnahme an der Vorlesung erklären Sie sich mit diesen Umständen einverstanden und stimmen einer kompensationslosen Veröffentlichung des entstandenen Bild- und Tonmaterials zu. (Sollten Sie sich dennoch durch eine Abschnitt einer Aufnahme in Ihren Persönlichkeitsrechten verletzt fühlen, so kontaktieren bitte Marc Technau, damit eine Lösung herbeigeführt werden kann.)

Falls die TU Graz im Laufe des Semesters das Abhalten von Präsenzlehre erneut signifikant einschränkt, ist neben der fortgeführten Aufzeichnung der Vorlesung auch eine Umstellung der Abhaltung der Übungsgruppen auf ein Videokonferenzformat geplant (mittels Cisco Webex). Details hierzu werden, sofern sich die Notwendigkeit hierzu ergibt, noch bekannt gegeben. In jedem Fall sollten Sie über ausreichende technische Ausstattung verfügen, um an etwaigen Sitzungen mittels Cisco Webex teilnehmen zu können.

Prüfungsmodus

Bestehen der Übung

Die Benotung richtet sich nach (B) wöchentlicher Bearbeitung und elektronischer Abgabe von Übungsaufgaben, (P) der Präsentation Ihrer Lösungen während der Übungsstunden und (M) Ihrer Mitarbeit in den Übungen. Näheres zu diesen drei Bewertungsaspekten erfahren Sie weiter unten. Ihr Gesamtergebnis η berechnet sich dann gemäß der folgenden Gewichtung aus Ihren Teilleistungen zu den obigen drei Bewertungsaspekten:

η = 60% · (B) + 30% · (P) + 10% · (M).

(Die Teilleistungen sind in dieser Formel als Quotient der in dem jeweiligen Bewertungsaspekt erreichten Punkte und der dort maximal erreichbaren Punktzahl zu verstehen.) Ihre Note berechnet sich dann gemäß der folgenden Tabelle:

Die Abgabe einer Bearbeitung zu einem Übungsblatt nebst Anmeldung zur Übung auf TUG▪online zählt als Prüfungsantritt und zieht eine Benotung am Ende des Semesters nach sich, sofern nicht bis zum 31.10.2021 eine Abmeldung via TUG▪online erfolgt. Umgekehrt ist das über den 31.10.2021 hinaus zur Übung angemeldet sein eine Grundvoraussetzung für das Bestehen der Übung.

(B): Bearbeitung von Übungsaufgaben

Die Abgabe von Übungsaufgaben erfolgt online über das TeachCenter.

Die Übungsblätter enthalten jeweils in der Regel drei Aufgaben, von denen nicht alle korrigiert (und damit bepunktet) werden. Welche der Aufgaben korrigiert werden, wird nicht vor der Abgabe bekannt gegeben. Es ist daher ratsam alle Aufgaben zu bearbeiten.

Bei der Bewertung der Bearbeitung wird neben der mathematischen Korrektheit auch auf die Qualität der schriftlichen Präsentation Wert gelegt. Grundsätzlich sind Gedankengänge klar und nachvollziehbar in ganzen Sätzen auszuführen. Sofern in den Aufgaben nichts Gegenteiliges geboten wird, sind zu deren Lösung nur Ergebnisse zu verwenden, die bereits aus dieser Vorlesung oder der Vorlesung Einführung in die Algebra aus dem Sommersemester 2021 bekannt sind. (Zusätzlich erlaubt sind Ergebnisse, die man üblicherweise aus Vorlesungen zur Analysis oder linearen Algebra kennen sollte. Bei Unklarheiten fragen Sie bitte Marc Technau.)

Die Lösungen zu Übungsblättern dürfen (und sollen!) zu zweit abgegeben werden. Das Abschreiben von Lösungen ist hingegen nicht erlaubt. Sollte sich der Verdacht erhärten, dass abgeschriebene Lösungen vorliegen, werden diese für alle beteiligten Parteien mit Null Punkten bewertet. Bitte beachten Sie in diesem Zusammenhang insbesondere auch den Satzungsteil Plagiat der Technischen Universität Graz. Besonders schwere oder wiederholte Fälle können zu einem Ausschluss von der Lehrveranstaltung führen.

(P): Präsentation von Lösungen

Während der Übungsstunden wird Ihnen die Möglichkeit geboten, sich freiwillig zum Präsentieren Ihrer Lösung zu melden. Pro Präsentation werden Punkte vergeben und ihr Ergebnis für diesen Bewertungsaspekt ist der Bruch aus Ihren drei besten Präsentationsergebnissen und der maximal erreichbaren Punktzahl.

(M): Mitarbeit

Ihre Mitarbeit während den Übungsstunden wird bis zum Ende des Semesters bewertet. Bewertungskriterien sind regelmäßige Teilnahme an den Übungsstunden, das Stellen thematisch relevanter Fragen, das Beantworten solcher Fragen von anderen und die generelle aktive Beteiligung an der Diskussion des Vorlesungs- und Übungsstoffs während der Übungsstunden.

Bitte beachten Sie, dass das ledigliche Auftauchen im Raum der Übungsstunden (oder Einloggen in die Webex-Sitzungen im Falle der Umstellung auf ein Online-Format) nicht ausreicht, um hier Punkte zu erhalten.

Bestehen der Vorlesung

Die Prüfung zur Vorlesung erfolgt mündlich in Form von ca. 30-minütigen Einzelprüfungen. Gesuche um Prüfungstermine sind bitte via E-Mail an Marc Technau zu richten.

Eine Anmeldung zur Vorlesung auf TUG▪online zieht keine Benotung nach sich. Ausschlaggebend ist nur, ob Sie sich zur mündlichen Prüfung anmelden.

Die genauen Prüfungsmodalitäten finden Sie hier.

Literaturauswahl

• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0. Band 104 in Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: AMS, 2009.
• M. Artin. Algebra. London: Pearson, zweite Ausgabe, 2011.
• S. Bosch. Algebra. Berlin: Springer, achte Ausgabe, 2013.
• C. Elsholtz. Einführung in die Algebra. Vorlesungsskript, 2019.
• C. Karpfinger und K. Meyberg. Algebra. Gruppen, Ringe, Körper. Berlin: Springer, vierte Ausgabe, 2017.
• S. Lang. Algebra. Band 211 in Graduate Texts in Mathematics. New-York: Springer, dritte Ausgabe, 2002.
• M. Technau. Einführung in die Algebra. Vorlesungsskript, 2021.
• J. Wolfahrt. Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Braunschweig: Vieweg, 2011.

Vorlesungsaufzeichnungen

Die Videos stehen auf TUbe zur Verfügung. Stellen Sie sicher, dass Sie dort eingeloggt sind, um Zugriff auf die Videos haben.

Vorlesungsskriptum

Das gesamte Skriptum gibt es hier als eine PDF-Datei.

Übungsblätter

Tutoriumsblätter