Winter 2021 — Algebra (VO+UE)

Verantwortlich für die Lehrveranstaltung ist Marc Technau ().

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Inhalt und Voraussetzungen

Das Hauptaugenmerk der Vorlesung liegt auf der Körpertheorie. Die Tatsache, dass Homomorphismen zwischen Körpern stets injektiv sind, verhindert die aus der Ringtheorie als sehr nützlich bekannte Faktorbildung; Das Studium von Teilkörpern und Körpererweiterungen erhebt sich also zum zentralen Betrachtungsobjekt.
Im Rahmen der Vorlesung klären wir die Existenz interessanter Körpererweiterungen (z.B. die Frage, ob jeder Körper einen algebraischen Abschluss besitzt) und untersuchen gewisse diesen zugeordnete Automorphismengruppen.
Als Anwendung erhalten wir unter anderem ein gutes Verständnis aller endlichen Körper.
Ein Meilenstein der Algebra ist die Entwicklung der Galois-Theorie, welche eine 1:1-Korrespondenz zwischen Zwischenkörpern und den Untergruppen dieser Automorphismengruppen herstellt und speziell durch das Wechselspiel zwischen Körper- und Gruppentheorie eine erstaunliche Schlagkraft entfaltet. Wir behandeln diese Theorie nebst einigen Anwendungen derselben (z.B. Fundamentalsatz der Algebra und der Satz von Abel–Ruffini). Die nachstehende Abbildung veranschaulicht die Galois-Korrespondenz anhand der Körpererweiterung (24,i)/ (modulo einiger Vereinfachungen auf der Gruppenebene):

(Abbildung: Beispiel für die Galois-Korrespondenz)

Im zweiten Teil der Vorlesung geben wir eine Einführung in die Theorie der Moduln (salopp gesagt sind dies „Vektorräume über Ringen“). Hauptziel ist es, diverse scheinbar unverwandte Normalformergebnisse aus der linearen Algebra als Spezialfall eines umfassenden Strukturergebnisses zu erkennen.

Aus dem Lehrveranstaltungsinhaltskatalog:
Körpertheorie (normale und separable Körpererweiterungen, algebraischer Abschluss, Hilbertscher Nullstellensatz, Hauptsatz der Galoistheorie, Verschiebungssatz, Fundamentalsatz der Algebra, Kreisteilungskörper, Aufösbarkeit durch Radikale, Transzendenzbasen), Weiterführung der Gruppentheorie (Operation von Gruppen auf Mengen, Permutationsgruppen, Sylowsätze, Aufösbarkeit), Grundbegriffe der Modultheorie (endlich erzeugte Moduln, Faktormodul).

Vertrautheit mit Gruppen- und Ringtheorie im Rahmen der Vorlesung Einführung in die Algebra vom Sommer 2021 wird vorausgesetzt.

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