Winter 2020 — Einführung in die komplexe Analysis (VO+UE)

Verantwortlich für die Lehrveranstaltung ist Marc Technau ().

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Termine

Am 02.12.2020, 08:00–09:30, im HS i7 findet ein schriftlicher Test statt. Siehe hierzu den Abschnitt zum Bestehen der Übung. Es findet kein schriftlicher Test statt.

Vorlesung:
Di., 16:15–18:00, Hörsaal BE01 (Aufzeichnung, keine Teilnahme möglich) [1]
Do., 14:15–16:00, Hörsaal G (Aufzeichnung, keine Teilnahme möglich) [2]
Übung:
Fr., 08:00–09:00, Raum AE02 (Gruppe 1)
Fr., 09:00–10:00, Raum AE02 WebEx (Zugangsdaten im TeachCenter) (Gruppe 1 & 2)

[1]: entfällt am 08.12. (Feiertag);
[2]: entfällt an den folgenden Tagen: 29.11., 05.11., 03.12., 10.12. (Prüfungswochen).

(Trotz des laut Studienplan angedachten 3+1-Formats für VO+UE finden regulär 4 Vorlesungsstunden pro Woche statt. Da in den Prüfungswochen die Vorlesung donnerstags nicht stattfindet, kommt man in der Summe übers Semester dann auf das vorgeschriebene 3+1-Format.)

Inhalt und Voraussetzungen

Das Hauptaugenmerk der Vorlesung liegt auf der Analysis in einer komplexen Variablen. Wir studieren vornehmlich Funktionen f : U C auf offenen Mengen U C , welche in jedem Punkt z0 U komplex-differenzierbar sind (sogenannte holomorphe Funktionen). Obgleich die komplexe Differenzierbarkeit in Formeln genau wie die eindimensionale reelle Differenzierbarkeit definiert ist, nämlich durch die Existenz des Differentialquotienten f ( z0 ) = lim z z0 f ( z ) f ( z0 ) z z0 , treten hier verblüffende Phänomene auf, die in der eindimensionalen Analysis hoffnungslos(!) falsch sind.

Dreh- und Angelpunkt unserer Untersuchungen wird eine nach Cauchy benannte Integralformel für die Werte holomorpher Funktionen sein, f ( z0 ) = 1 2 π i z z0 = ϵ f ( z ) z z0 dz (und Varianten davon), welche zur Bestimmung von f ( z0 ) nur Randwerte von f in einer Umgebung von z0 benötigt. Ähnliche Integraldarstellungen existieren auch für die Werte von Ableitungen f ( n ) ( z0 ) . Da sich Integrale bekanntlich gutmütiger mit Hinsicht auf Vertauschen diverser Grenzprozesse verhalten, als Ableitungen dies für gewöhnlich zu tun pflegen, lässt sich an dieser Stelle nur erahnen welchen unverhofft starren Gesetzmäßigkeiten holomorphe Funktionen unterworfen sein müssen.

Tieferliegende Untersuchungen der komplexen Analysis führen unweigerlich zum Studium der offenen Mengen U C selbst, welche ja die Definitionsbereiche der holomorphen Funktionen sind. Es entstehen spannende Querverbindungen zur Topologie im zweidimensionalen Raum R 2 .

Neben dem Studium der komplexen Analysis aus intrinsischen Gründen, besticht die Theorie holomorpher Funktionen durch vielfältige Anwendungen, beispielsweise zur Berechnung gewisser reeller Integrale, denen man mit reellen Methoden — wenn überhaupt — oft nur unter Ausnutzung genialer Kunstgriffe oder unnachgiebiger Rechnung Herr werden konnte (man denke an gewisse Fouriertransformierte), asymptotischer Analyse gewisser Funktionen, Anwendungen in der Funktionalanalysis (z.B. in der Spektraltheorie beschränkter Operatoren), oder Anwendungen in der Zahlentheorie (z.B. Beweis des Primzahlsatzes). Die Vorlesung ist bemüht eine Auswahl derartiger Anwendungen zu skizzieren. (Für weitere Anwendungen siehe beispielsweise das schöne Buch von P. D. Lax und L. Zalcman aus der Literaturliste.)

Der Prototyp holomorpher Funktionen sind die Polynomfunktionen, so wie auch schon die reelle Analysis im Grunde auf der Idee der Approximation durch Polynome fußt (vgl. Taylorformel). Die sehr naheliegende Forderung, dass eine Theorie holomorpher Funktionen insbesondere zum Studium von Polynomen geeignet sein muss, wenn diese irgendeinen Anspruch auf Ausgereiftheit über sich geltend machen möchte, wird diese Theorie dadurch gerecht, dass einem — fast schon beiläufig — gleich mehrere sehr transparente und kurze Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra beifallen.

Gute Vertrautheit mit den üblichen Inhalten der Analysis wird vorausgesetzt. Hörerinnen und Hörer dieser Veranstaltung sollten insbesondere ein gutes Verständnis der folgenden Themengebiete mitbringen: Stetigkeit, Differential- und Integralrechnung in einer und mehreren (hier vorwiegend: zwei) Variablen, Konvergenz von Funktionenfolgen, Potenzreihen, Grundlagen der Topologie in metrischen Räumen, Kompaktheit, Satz über lokale Umkehrbarkeit.

Online-Lehre

Die Möglichkeit zur physischen Teilnahme an Vorlesung und Übung ist — solange die Rahmenbedingungen der TU Graz dies gestatten — vorgesehen; Nicht-Teilnahme hat allerdings keine Auswirkung auf die Benotung. (Einzige Ausnahme: der schriftliche Test zur Übung; Siehe weiter unten.)

Es ist geplant die Vorlesung aufzuzeichnen (siehe weiter unten). Um sicherzustellen, dass Sie Zugang zu den Videos haben, melden Sie sich bitte auf TUGonline zur Vorlesung an. Bitte beachten Sie, dass bei einer physische Teilnahme an der Vorlesung Ihrerseits nicht gänzlich ausgeschlossen werden kann, dass Sie auf Ton- oder Bildmitschnitten erscheinen, obwohl sich die Aufnahmen primär auf den Tafelbereich beschränken werden. Im Falle einer physischen Teilnahme an der Vorlesung erklären Sie sich mit diesen Umständen einverstanden und stimmen einer kompensationslosen Veröffentlichung des entstandenen Bild- und Tonmaterials zu. (Sollten Sie sich dennoch durch eine Abschnitt einer Aufnahme in Ihren Persönlichkeitsrechten verletzt fühlen, so kontaktieren bitte , damit eine Lösung herbeigeführt werden kann.)

Falls die TU Graz im Laufe des Semesters das Abhalten von Präsenzlehre erneut signifikant einschränkt, ist neben der fortgeführten Aufzeichnung der Vorlesung auch eine Umstellung der Abhaltung der Übungsgruppen auf ein Videokonferenzformat geplant. Details hierzu werden, sofern sich die Notwendigkeit hierzu ergibt, noch bekannt gegeben.

Prüfungsmodus

Bestehen der Übung

Die Benotung richtet sich nach wöchentlicher Bearbeitung und elektronischer Abgabe von Übungsaufgaben, sowie einem schriftlichen Test (am 02.12.2020, 08:00–09:30, im HS i7; für diesbezügliche Sonderregelungen siehe weiter unten). (Änderung vom 17.11.2020: Der schriftliche Test wurde abgesagt.)

Die Abgabe einer Bearbeitung nebst Anmeldung zur Übung auf TUGonline zählt als Prüfungsantritt und zieht eine Benotung am Ende des Semesters nach sich, sofern nicht bis zum 31.10.2020 eine Abmeldung via TUGonline erfolgt. Umgekehrt ist das über den 31.10.2020 hinaus zur Übung angemeldet sein ist eine Grundvoraussetzung für das Bestehen der Übung. Die Abgabe von Übungsaufgaben erfolgt online über das TeachCenter.

Auf die Bearbeitung der Übungsaufgaben werden Punkte vergeben. Bei der Bewertung der Bearbeitung wird neben der mathematischen Korrektheit auch auf die Qualität der schriftlichen Präsentation Wert gelegt. Grundsätzlich sind Gedankengänge klar und nachvollziehbar in ganzen Sätzen auszuführen. Sofern in den Aufgaben nichts Gegenteiliges geboten wird, sind zu deren Lösung nur Ergebnisse zu verwenden, die bereits aus dieser Vorlesung bekannt sind. (Zusätzlich erlaubt sind Ergebnisse, die man üblicherweise aus Vorlesungen zur Analysis oder linearen Algebra kennen sollte. Bei Unklarheiten fragen Sie bitte .)

Zur Berechnung der Note wird das gewichtete arithmetische Mittel aus der im Test erreichten Punktzahl (Gewicht: 1) und der durch die Abgabe von Hausaufgaben erreichten Punkte (Gewicht: 2) gebildet und durch das gewichtete arithmetische Mittel der jeweils möglichen maximalen Punktzahl geteilt. Das Ergebnis η dieser Rechnung liefert dann die zugehörige Note gemäß der folgenden Tabelle: Ihre Note ergibt sich aus dem Quotienten η aus den von Ihnen bis zum Ende des Semesters gesammten Punkte auf Ihre Lösungen zu den Übungsaufgaben und der maximal erreichbaren Anzahl an Punkten gemäß der folgenden Tabelle:

Bereich für η Note
85% ≤ η „Sehr gut“ (1)
70% ≤ η < 85% „Gut“ (2)
60% ≤ η < 70% „Befriedigend“ (3)
50% ≤ η < 60% „Genügend“ (4)
00% ≤ η < 50% „Nicht genügend“ (5)

Die Übungstermine selbst dienen zur Besprechung der Übungsaufgaben und (in unregelmäßigen Abständen) der Behandlung von Zusatzmaterial. Physische Anwesenheit in der Übung ist zwar erwünscht, aber nicht zwingend erforderlich und hat — abgesehen von einem möglicherweise verminderten Lerneffekt — keinen Einfluss auf die Benotung.

Sonderregelungen zum schriftlichen Test

(Der folgende Abschnitt ist obsolet, da der schriftliche Test nicht stattfindet:) Falls Sie Angehörige/r einer COVID-19-Risikogruppe (siehe FAQ auf der Seite des Sozialministeriums) mit ärztlichem Attest sind, oder aus anderen gesundheitlichen Gründen (mit ärztlichem Attest) zum Zeitpunkt des Tests verhindert sind, wird Ihnen angeboten den Test zeitnah in Einzel- oder Kleingruppen nachzuschreiben, sofern Sie Ihre Absicht zur Wahrnehmung dieses Angebots spätestens bis zum 05.12.2020 Marc Technau mitgeteilt haben. (Atteste können auch später nachgereicht werden; Gesuche um Teilnahme an Ersatzterminen, die nach dem 05.12.2020 geäußert werden, werden nicht berücksichtigt.) Die Abstimmung der Nachschreibetermine erfolgt nur bei Bedarf und in Absprache mit den betroffenen Personen.

Bestehen der Vorlesung

Die Prüfung zur Vorlesung erfolgt mündlich ab dem 1. Februar 2021 in Form von ca. 30-minütigen Einzelprüfungen. sind bitte via E-Mail an Marc Technau zu richten. (Für Prüfungstermine im Februar  erfolgt die Anmeldung im TeachCenter-Kurs.)

Eine Anmeldung zur Vorlesung auf TUGonline zieht keine Benotung nach sich. Ausschlaggebend ist nur, ob Sie sich zur mündlichen Prüfung anmelden.

Die genauen Prüfungsmodalitäten werden hier näher erläutert.

Literaturauswahl

(Die Vorlesung orientiert sich vornehmlich an den Büchern von Jänich und Rudin; Jänich schreibt sehr anschaulich und stellt oft in sehr prägnanter Form den geometrischen Charakter vieler Argumente dar und ist sehr kurz gefasst. Rudins Werk hingegen stellt insbesondere die Querverbindungen zu angrenzenden Gebieten der Analysis dar. Beide Werke sind sehr zu empfehlen!)

Logbuch

Hier finden Sie eine Liste mit Ankündigungen. Bitte konsultieren Sie diese Liste möglichst regelmäßig. (Die Liste wird laufend aktualisiert.)

  • (17.11.2020): Der schriftliche Test wurde ersatzlos abgesagt. Für Details zum weiteren Ablauf des Übungsbetriebs siehe die speziell an die Teilnehmenden der Übung ausgesandte E-Mail vom 17.11.2020.
  • (02.01.2021): Es wurden Details zur Vorlesungsprüfung veröffentlicht. Siehe oben.
  • (27.01.2021): In der Aufnahme zur letzten Vorlesung war bei der Besprechung der Weierstraßschen Produkt- und Faktorisierungssätze der Spezialfall von Nullstellen bei Null nicht korrekt eingebunden. Das ist im Skriptum korrigiert.

Vorlesungsaufzeichnungen

Die Videos stehen auf TUbe zur Verfügung. Stellen Sie sicher, dass Sie dort eingeloggt sind, um Zugriff auf die Videos haben.

Vorlesungsskriptum

Den Hörerinnen und Hörern wird zum privaten Gebrauch ein Vorlesungsskriptum zur Verfügung gestellt. Dieses ist nicht zur Weitergabe bestimmt. Hier gibt es die einzelnen Kapitel (die Zugangsdaten finden Sie im zugehörigen TeachCenter-Kurs):

Das gesamte Skriptum gibt es hier als eine PDF-Datei.

Die am 12.01.2021 in der Vorlesung gezeigten Animationen zum Null- und Polstellen zählenden Integral findet man hier und hier.

Übungsblätter

Blatt Abgabe am … Besprechung am …
Blatt 1 Lösung 15.10.2020 16.10.2020
Blatt 2 Lösung 22.10.2020 23.10.2020
Blatt 3 Lösung 29.10.2020 30.10.2020
Blatt 4 Lösung 05.11.2020 06.11.2020
Blatt 5 Lösung 12.11.2020 13.11.2020
Blatt 6 Lösung 19.11.2020 20.11.2020
Blatt 7 Lösung 26.11.2020 27.11.2020
Blatt 8 Lösung 03.12.2020 04.12.2020
Blatt 9 Lösung 10.12.2020 11.12.2020
Blatt 10 Lösung 07.01.2021 08.01.2021
Blatt 11 Lösung 14.01.2021 16.01.2021
Blatt 12 Lösung 21.01.2021 22.01.2021
Blatt 13 Lösung 28.01.2021 29.01.2021

Die Abgabe von Übungsaufgaben erfolgt online über das TeachCenter.

Tutoriumsblätter

Blatt Besprochen am …
Tutorium 1 Lösung 09.10.2020
Tutorium 2 Lösung 18.12.2020