Winter 2019 — Algebra (VO+UE)
Verantwortlich für die Lehrveranstaltung ist Marc Technau (E-Mail).
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Termine
- Vorlesung:
- Mi., 16:15–18:00, Hörsaal BE01
- Do., 12:15–14:00, Hörsaal BE01
- Übung:
- Mo., 09:15–10:00, Raum AE06
Inhalt und Voraussetzungen
Das Hauptaugenmerk der Vorlesung liegt auf der Körpertheorie.
Die Tatsache, dass Homomorphismen zwischen Körpern stets injektiv sind, verhindert die aus der Ringtheorie als sehr nützlich bekannte Faktorbildung; Das Studium von Teilkörpern und Körpererweiterungen erhebt sich also zum zentralen Betrachtungsobjekt.
Im Rahmen der Vorlesung klären wir die Existenz interessanter Körpererweiterungen (z.B. die Frage, ob jeder Körper einen algebraischen Abschluss besitzt) und untersuchen gewisse diesen zugeordnete Automorphismengruppen.
Als Anwendung erhalten wir unter anderem ein gutes Verständnis aller endlichen Körper.
Ein Meilenstein der Algebra ist die Entwicklung der Galois-Theorie, welche eine 1:1-Korrespondenz zwischen Zwischenkörpern und den Untergruppen dieser Automorphismengruppen herstellt und speziell durch das Wechselspiel zwischen Körper- und Gruppentheorie eine erstaunliche Schlagkraft entfaltet.
Wir behandeln diese Theorie nebst einigen Anwendungen derselben (z.B. Fundamentalsatz der Algebra und der Satz von Abel–Ruffini).
Die nachstehende Abbildung veranschaulicht die Galois-Korrespondenz anhand der Körpererweiterung (modulo einiger Vereinfachungen auf der Gruppenebene):
Im zweiten Teil der Vorlesung geben wir eine Einführung in die Theorie der Moduln (salopp gesagt sind dies „Vektorräume über Ringen“). Hauptziel ist es, diverse scheinbar unverwandte Normalformergebnisse aus der linearen Algebra als Spezialfall eines umfassenden Strukturergebnisses zu erkennen.
Aus dem Lehrveranstaltungsinhaltskatalog:
Körpertheorie (normale und separable Körpererweiterungen, algebraischer Abschluss, Hilbertscher Nullstellensatz, Hauptsatz der Galoistheorie, Verschiebungssatz, Fundamentalsatz der Algebra, Kreisteilungskörper, Aufösbarkeit durch Radikale, Transzendenzbasen), Weiterführung der Gruppentheorie (Operation von Gruppen auf Mengen, Permutationsgruppen, Sylowsätze, Aufösbarkeit), Grundbegriffe der Modultheorie (endlich erzeugte Moduln, Faktormodul).
Vertrautheit mit Gruppen- und Ringtheorie im Rahmen der Vorlesung Einführung in die Algebra von Christian Elsholtz wird vorausgesetzt.
Prüfungsmodus
Bestehen der Übung
Die Benotung richtet sich nach wöchentlicher Bearbeitung und schriftlicher Abgabe von Übungsaufgaben. Die Abgabe einer Bearbeitung nebst Anmeldung zur Übung auf TUG▪online zählt als Prüfungsantritt und zieht eine Benotung am Ende des Semesters nach sich, sofern nicht bis zum 31.10.2019 eine Abmeldung via TUG▪online erfolgt.
Auf die Bearbeitung der Übungsaufgaben werden Punkte vergeben. Bei der Bewertung der Bearbeitung wird neben der mathematischen Korrektheit auch auf die Qualität der schriftlichen Präsentation Wert gelegt. Grundsätzlich sind Gedankengänge klar und nachvollziehbar in ganzen Sätzen auszuführen. Sofern in den Aufgaben nichts Gegenteiliges geboten wird, sind zu deren Lösung nur Ergebnisse zu verwenden, die bereits aus dieser Vorlesung, oder der Vorlesung Einführung in die Algebra von Christian Elsholtz bekannt sind. (Zusätzlich erlaubt sind Ergebnisse, die man üblicherweise aus Vorlesungen zur Analysis oder linearen Algebra kennen sollte. Bei Unklarheiten fragen Sie bitte Marc Technau.)
Die Note für die Übung berechnet sich dann durch den Quotient η aus erreichter Punktzahl und maximal möglicher Gesamtpunktzahl gemäß der folgenden Tabelle:
| Bereich für η | Note | |
|---|---|---|
| 85% ≤ η | „Sehr gut“ | (1) |
| 70% ≤ η < 85% | „Gut“ | (2) |
| 60% ≤ η < 70% | „Befriedigend“ | (3) |
| 50% ≤ η < 60% | „Genügend“ | (4) |
| 0% ≤ η < 50% | „Nicht genügend“ | (5) |
Bestehen der Vorlesung
Die Prüfung zur Vorlesung erfolgt mündlich. Gesuche um Prüfungstermine sind bitte via E-Mail an Marc Technau zu richten.
Die Prüfungsmodalitäten werden hier näher erläutert.
Literaturauswahl
- P. Aluffi. Algebra: Chapter 0. Band 104 in Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: AMS, 2009.
- M. Artin. Algebra. London: Pearson, zweite Ausgabe, 2011.
- S. Bosch. Algebra. Berlin: Springer, achte Ausgabe, 2013.
- C. Elsholtz. Einführung in die Algebra. Vorlesungsskript, 2019.
- C. Karpfinger und K. Meyberg. Algebra. Gruppen, Ringe, Körper. Berlin: Springer, vierte Ausgabe, 2017.
- S. Lang. Algebra. Band 211 in Graduate Texts in Mathematics. New-York: Springer, dritte Ausgabe, 2002.
- J. Wolfahrt. Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Braunschweig: Vieweg, 2011.
Vorlesungsskriptum
Das gesamte Skriptum gibt es hier als eine PDF-Datei.
Bitte melden Sie etwaige Fehler im Skriptum!
Die am 06.11.2019 in der Vorlesung gezeigten Plots finden sich hier als PDF und hier als veränderbares Mathematica-Notebook.
Übungsblätter
| Blatt | Abgabe am ... | Besprechung am ... | |
|---|---|---|---|
| Blatt 1 | 10.10.2019 | 14.10.2019 | |
| Blatt 2 | 17.10.2019 | 21.10.2019 | |
| Blatt 3 | 24.10.2019 | 28.10.2019 | |
| Blatt 4 | 31.10.2019 | 04.11.2019 | |
| Blatt 5 | 07.11.2019 | 11.11.2019 | |
| Blatt 6 | 14.11.2019 | 18.11.2019 | |
| Blatt 7 | 20.11.2019 | 25.11.2019 | |
| Blatt 8 | 28.11.2019 | 02.12.2019 | |
| Blatt 9 | 05.12.2019 | 09.12.2019 | |
| Blatt 10 | 12.12.2019 | 13.01.2020 | |
| Blatt 11 | 09.01.2020 | 13.01.2020 | |
| Blatt 12 | 16.01.2020 | 20.01.2020 | |
| Blatt 13 | 23.01.2020 | — | |
Tutoriumsblätter
- Tutorium 1 (Besprochen am 07.10.2019)
- Tutorium 2 (Besprochen am 14.10.2019)
- Tutorium 3 (Besprochen am 28.10.2019)
- Tutorium 4 (Besprochen am 18.11.2019)
- Tutorium 5 (Besprochen am 02.12.2019)
- Tutorium 6 (Besprochen am 20.01.2020)