Winter 2024/25 — Algebra 1 (VO+UE)

Verantwortlich für die Vorlesung ist Marc Technau (E-Mail).
Die Übungen werden von Nicolas Potthast geleitet.

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Inhalt und Voraussetzungen

Die Lehrveranstaltung gibt eine Einführung in die Gruppentheorie und die Ringtheorie, sowie einen kurzen Blick auf die Körpertheorie (welche in der weiterführenden Vorlesung Algebra 2 im kommenden Sommersemester vertieft werden kann).

Bei Gruppen handelt es sich um Strukturen, welche den Begriff der „Symmetrie“ in algebraischer Weise fassen. Symmetrien, welche man dabei vor Augen hat, können sehr mannigfaltig ausfallen. Neben offensichtlich „geometrischen Symmetrien“, wie Dreh- und Spiegelsymmetrien von Objekten in der Ebene und dem dreidimensionalen Anschauungsraum, interessiert man sich auch für Symmetrien mathematischer Strukturen, wie etwa Automorphismen von topologischen Räumen, Graphen, oder Vektorräumen. Aus der linearen Algebra kennt man schon diverse Gruppen, welche Symmetrien beschreiben: die generelle lineare Gruppe eines Vektorraums (Symmetrien des Vektorraums), die spezielle lineare Gruppe (volumentreue lineare Symmetrien), orthogonale Gruppen (winkeltreue Symmetrien), etc. Die Einführung in die Algebra ist bemüht, generelle Methoden zum Studium (vorwiegend endlicher) Gruppen zur Verfügung zu stellen. Themen sind etwa Homomorphie- und Isomorphiesätze, die Klassifikation endlicher abelscher Gruppen. Darüber hinaus besprechen wir Existenzsätze für gewisse Unterstrukturen (Sätze von Sylow), symmetrische Gruppen, sowie Anwendungen der entwickelten Theorie auf kombinatorische Zählprobleme (Satz von Pólya–Redfield).

Die Vorlesung liefert zusätzlich eine Einführung in die Ringtheorie. Neben der Behandlung gewisser Grundbegriffe für allgemeine Ringe, richtet sich der Fokus in weiterer Folge primär auf die Theorie der kommutativen Ringe. Dabei stehen Themen im Vordergrund, welche von zahlentheoretischem, oder kryptographischem Interesse sind. Diese beinhalten beispielsweise die Bestimmung der Struktur von der Ringe ℤ/nℤ und der Einheitengruppe und Teilbarkeitslehre in Integritätsbereichen und spezielleren Klassen von Ringen. Insbesondere letzteres legt den Grundstein für das Studium der Körpertheorie in der Vorlesung Algebra 2.

Zum Abschluss werden einige ausgewählte Themen mit zahlentheoretischem Bezug besprochen. Dies betrifft die Lösung einiger klassischer diophantischer Gleichungen mittels der entwickelten Faktorisierungstheorie, sowie die Besprechung berühmter Konstruktionsprobleme der Antike mit Zirkel und Lineal.

Generelle Vertrautheit mit mathematischer Arbeitsweise wird vorausgesetzt. Kenntnisse in linearer Algebra sind hilfreich zum Verständnis mancher Beispiele, aber nicht zwingend erforderlich.

Eine natürliche Fortsetzung dieser Vorlesung ist durch die Vorlesung Algebra 2 im Sommersemester 2025 gegeben. Ein Besuch jener Veranstaltung wird wärmstens empfohlen!

Literaturauswahl

• P. Aluffi. Algebra: Chapter 0. Band 104 in Graduate Studies in Mathematics. Providence, RI: AMS, 2009.
• M. Artin. Algebra. London: Pearson, zweite Ausgabe, 2011.
• S. Bosch. Algebra. Berlin: Springer, achte Ausgabe, 2013.
• C. Karpfinger und K. Meyberg. Algebra. Gruppen, Ringe, Körper. Berlin: Springer, vierte Ausgabe, 2017.
• S. Lang. Algebra. Band 211 in Graduate Texts in Mathematics. New-York: Springer, dritte Ausgabe, 2002.
• J. Wolfahrt. Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Braunschweig: Vieweg, 2011.

Vorlesungsskriptum

Das gesamte Skriptum gibt es hier als eine PDF-Datei.

Übungsblätter

Präsenzblätter

• Präsenzblatt 1
• Präsenzblatt 2
• Präsenzblatt 3
• Präsenzblatt 4
• Präsenzblatt 5
• Präsenzblatt 6
• Präsenzblatt 7
• Präsenzblatt 8
• Präsenzblatt 9
• Präsenzblatt 10
• Präsenzblatt 11
• Präsenzblatt 12
• Präsenzblatt 13
• Präsenzblatt 14